Primeval-Zahl
In der Unterhaltungsmathematik ist eine Primeval-Zahl (vom englischen Primeval Number) eine natürliche Zahl , für die die Anzahl der Primzahlen, die man durch Permutation einiger oder aller ihrer Ziffern (also durch Vertauschung bzw. Weglassung ihrer Ziffern) erhalten kann, größer ist als die Anzahl der Primzahlen, die man auf dieselbe Art und Weise für alle kleineren natürlichen Zahlen erhalten kann.
Der Mathematiker Mike Keith hat sich im Jahr 1998 als Erster mit diesen Zahlen beschäftigt.[1]
Beispiele
- Aus der Zahl
kann man folgende Primzahlen durch Vertauschung und Weglassung der Ziffern erzeugen:
- 3, 7, 13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 137, 139, 173, 179, 193, 197, 317, 379, 397, 719, 739, 937, 971, 1973, 3719, 3917, 7193, 9137, 9173, 9371
- Insgesamt sind das 31 Primzahlen, die erzeugt werden können. Dies macht die Zahl
noch nicht zur Primeval-Zahl. Man muss vorher nachweisen, dass man aus allen kleineren natürlichen Zahlen
nicht so viele, also weniger als 31 Primzahlen erzeugen kann. Dies ist allerdings tatsächlich der Fall: es gibt keine einzige Zahl
, aus der man 31 oder mehr Primzahlen durch Vertauschung und Weglassung der Ziffern erzeugen kann. Somit ist
eine Primeval-Zahl.
- Die ersten Primeval-Zahlen lauten:
- Die Anzahl der Primzahlen, die man aus obig genannten Primeval-Zahlen machen kann, lauten:
- Beispiel:
- An der 15. Stelle obiger beiden Listen kann man die Zahlen
und
ablesen. Dies bedeutet, dass man aus der Zahl
genau
verschiedene Primzahlen machen kann und dass es keine einzige Zahl
gibt, aus der man
oder mehr verschiedene Primzahlen machen kann.
- An der 15. Stelle obiger beiden Listen kann man die Zahlen
- Die größte Anzahl an Primzahlen, die man aus einer
-stelligen (Primeval-)Zahl machen kann (mit
), sind die folgenden:
- Die dazugehörigen
-stelligen Primeval-Zahlen mit der größten Anzahl an Primzahlen sind die folgenden (es sind auch gleichzeitig die größten
-stelligen Primeval-Zahlen):
- 2, 37, 137, 1379, 13679, 123479, 1234679, 12345679, 102345679, 1123456789, 10123456789 … (Folge A134596 in OEIS)
- Beispiel:
- An der 6. Stelle obiger beider Listen steht die Zahl
und
. Das bedeutet, dass man aus einer 6-stelligen (Primeval-)Zahl maximal
Primzahlen machen kann. In diesem Fall wäre es die Primeval-Zahl
, aus der man
verschiedene Primzahlen machen kann (kann man auch an der 30. Stelle der beiden obersten Listen entnehmen).
- An der 6. Stelle obiger beider Listen steht die Zahl
- Die folgende Tabelle gibt die ersten sieben Primeval-Zahlen an und welche Primzahlen man daraus machen kann:
Primeval-Zahl | daraus erhaltene Primzahlen | Anzahl der so erhaltenen Primzahlen |
---|---|---|
1 | 0 | |
2 | 2 | 1 |
13 | 3, 13, 31 | 3 |
37 | 3, 7, 37, 73 | 4 |
107 | 7, 17, 71, 107, 701 | 5 |
113 | 3, 11, 13, 31, 113, 131, 311 | 7 |
137 | 3, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 137, 173, 317 | 11 |
Primeval-Primzahlen
Eine Primeval-Zahl , welche Primzahl ist, nennt man Primeval-Primzahl.
Eigenschaften
- Die Maximalanzahl der durch Permutation erhaltbaren Zahlen sind (jeweils für ein-, zwei-, drei- oder mehrstellige Zahlen):
- 1, 4, 15, 64, 325 …
- Die größte Primeval-Zahl mit der Eigenschaft, dass alle Permutationen ihrer Ziffern Primzahlen sind, ist die Zahl
.[1]
- Beispiel:
- Sei
. Diese Zahl ist eine dreistellige Primeval-Zahl. Insgesamt gibt es, wenn man alle drei Ziffern permutiert,
Möglichkeiten. Obiger Tabelle kann man aber entnehmen, dass man nur 5 Primzahlen, nämlich
und
durch Vertauschungen erhält. Es fehlen noch 10 weitere Möglichkeiten, nämlich
und
, die aber allesamt entweder nicht prim sind oder die ungewöhnliche Schreibweise mit Nullen vorne haben. Obiger Aussage zufolge gibt es keine Primeval-Zahlen, welche größer als
sind, bei denen alle Permutationen Primzahlen ergeben.
- Sei
- Beispiel:
Beispiele
- Die kleinste Primeval-Primzahl ist
. Aus ihr kann man nur die Primzahl
machen.
- Die kleinste Primeval-Zahl, die nicht gleichzeitig Primzahl ist, ist
. Aus ihr kann man folgende Primzahlen machen:
- 3, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 103, 107, 137, 173, 307, 317, 701, 1307, 3701, 7013, 7103
- Es gibt keine kleinere natürliche Zahl
, aus welcher man 19 oder mehr Primzahlen machen kann.
- Die kleinsten Primeval-Primzahlen sind die folgenden:
Primeval-Zahlen zu anderen Basen
Bisher wurden nur Primeval-Zahlen im Dezimalsystem, also zur Basis behandelt. Die Primeval-Zahl
wäre zum Beispiel zur Basis
die Zahl
und man könnte ganz andere Primzahlen zur Basis
daraus machen (in diesem Fall nur die beiden Primzahlen
und
). Daher spielt die jeweilige Basis eine große Rolle bei Primeval-Zahlen.
Eine Primeval-Zahl zur Basis ist eine natürliche Zahl
, für die die Anzahl der Primzahlen, die man durch Permutation (also durch Vertauschung bzw. Weglassung) einiger oder aller ihrer Ziffern zur Basis
erhalten kann, größer ist als die Anzahl der Primzahlen, die man auf dieselbe Art und Weise für alle kleineren natürlichen Zahlen
erhalten kann. Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie Primeval-Primzahl zur Basis
.
Beispiele
- Sei
. Man kann aus ihr im Dezimalsystem, also zur Basis
, folgende Primzahlen durch Vertauschung und Weglassung der Ziffern erzeugen:
- 7, 11, 17, 71
- Es sind nur vier Stück. Aber schon aus
kann man 5 Primzahlen erzeugen (nämlich 7, 17, 71, 107 und 701). Somit ist
im Dezimalsystem keine Primeval-Zahl.
- Sei aber nun
eine Zahl im Duodezimalsystem, also zur Basis
(diese Zahl wäre im Dezimalsystem die Zahl
). Auch diese Zahl ist im Dezimalsystem keine Primeval-Zahl. Zur Basis
kann man folgende Primzahlen daraus erzeugen:
- Somit kann man aus
im Duodezimalsystem insgesamt 6 verschiedene Primzahlen aus den einzelnen Ziffern erzeugen. Weil man aus keiner kleineren Zahl
im Duodezimalsystem 6 oder mehr Primzahlen erzeugen kann, ist
eine Primeval-Zahl zur Basis
.
- Die ersten Primeval-Zahlen zur Basis
sind die folgenden (dabei ist aus Ermangelung an weiteren Ziffern
und
):
- 1, 2, 13, 15, 57, 115, 117, 125, 135, 157, 1017, 1057, 1157, 1257, 125B, 157B, 167B …
- Die Anzahl der Primzahlen, die man aus obig genannten Primeval-Zahlen zur Basis
machen kann, lauten:
- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 20, 23, 27, 29, 33, 35 …
- Beispiel:
- An der 10. Stelle obiger beiden Listen kann man die Zahlen
und
ablesen. Dies bedeutet, dass man aus der Zahl
genau
verschiedene Primzahlen machen kann und dass es keine einzige Zahl
zur Basis
gibt, aus der man
oder mehr verschiedene Primzahlen machen kann.
- An der 10. Stelle obiger beiden Listen kann man die Zahlen
- Die folgende Tabelle gibt die ersten 10 Primeval-Zahlen zur Basis
an und welche Primzahlen man daraus machen kann:
Primeval-Zahl zur Basis | entspricht im Dezimalsystem | daraus erhaltene Primzahlen zur Basis | daraus erhaltene Primzahlen im Dezimalsystem | Anzahl der so erhaltenen Primzahlen |
---|---|---|---|---|
0 | ||||
2 | 1 | |||
3, 37 | 2 | |||
5, 17, 61 | 3 | |||
5, 7, 67, 89 | 4 | |||
5, 13, 17, 61, 733 | 5 | |||
7, 13, 19, 163, 229, 1021 | 6 | |||
2, 5, 17, 29, 61, 173, 349 | 7 | |||
3, 5, 17, 37, 41, 61, 449, 757 | 8 | |||
5, 7, 17, 19, 61, 67, 89, 211, 233, 739, 1069 | 11 |
- Obiger Tabelle kann man entnehmen, dass die Zahlen
und
keine Primzahlen sind. Sie sind die kleinsten zusammengesetzten Primeval-Zahlen zur Basis
(denn
ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl). Alle anderen nicht zusammengesetzten Primeval-Zahlen (außer
) sind Primeval-Primzahlen zur Basis
.
k-Primeval-Zahlen
Es gibt Zahlen , mit denen man durch Permutation (also durch Vertauschung bzw. Weglassung) einiger oder aller ihrer Ziffern sämtliche
-stelligen Primzahlen erhalten kann. Diese Zahlen nennt man k-Primeval-Zahlen.
Beispiele
- Wenn man die kleinste Zahl
sucht, welche alle einstelligen Primzahlen
und
enthält, so kann es sich nur um die Zahl
handeln. Diese Zahl ist somit eine 1-Primeval-Zahl. Alle anderen Zahlen, welche die Ziffern
und
enthalten, sind natürlich ebenfalls 1-Primeval-Zahlen (wie zum Beispiel
).
- Die kleinsten k-Primeval-Zahlen sind die folgenden (für aufsteigendes
):
k-Primeval-Primzahlen
Eine k-Primeval-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, nennt man k-Primeval-Primzahl.
Beispiele
- Die kleinsten k-Primeval-Primzahlen sind die folgenden (für aufsteigendes
):
- Weil diese Zahlen sehr schnell sehr hoch werden, hat sich folgende Schreibweise etabliert:
- Zuerst beginnen alle Zahlen mit (1), welche immer in solchen Zahlen vorkommt, danach folgt die Anzahl aller darauffolgenden Nullen, danach die Anzahl aller darauffolgenden Einsen etc., gegen Ende folgt die Anzahl aller darauffolgenden Achter, zuletzt kommt eine Gruppe von Achtern und Neunern, die die gesuchte Zahl abschließt.
- Beispiel:
- Die kleinste 4-Primeval-Primzahl ist
und lautet in dieser Schreibweise: (1) 2 3 3 3 3 3 3 3 0 998889. Sie beginnt also mit einer Eins, darauf kommen zwei Nullen, drei Einsen, drei Zweier etc., gegen Ende kommen drei Siebener, Null Achter und zuletzt kommt noch die Ziffernfolge 998889.
- Die kleinste 4-Primeval-Primzahl ist
- Beispiel:
- Zuerst beginnen alle Zahlen mit (1), welche immer in solchen Zahlen vorkommt, danach folgt die Anzahl aller darauffolgenden Nullen, danach die Anzahl aller darauffolgenden Einsen etc., gegen Ende folgt die Anzahl aller darauffolgenden Achter, zuletzt kommt eine Gruppe von Achtern und Neunern, die die gesuchte Zahl abschließt.
- Mit obiger Schreibweise kann man die weiteren kleinsten k-Primeval-Primzahlen angeben, ohne viel Platz zu gebrauchen:
|
|
|
Die kleinste 30-Primeval-Primzahl hat somit schon Stellen.
Siehe auch
Einzelnachweise
Weblinks
- Chris K. Caldwell: primeval number. Prime Pages, abgerufen am 30. Dezember 2018 (englisch).