Vollkommener Körper
Körper ohne inseparable Erweiterungen
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Perfekte Körper oder vollkommene Körper ist ein Begriff aus der Algebra, der in der Körpertheorie von Nutzen ist, weil die Galois-Theorie vollkommener Körper zahlreiche Komplikationen vermeidet, die bei allgemeineren Körpern auftreten können.
Definition
Ein Körper heißt vollkommen, wenn alle irreduziblen Polynome separabel sind, das heißt keine Mehrfachnullstellen in ihrem Zerfällungskörper haben.[1]
Beispiele
Ein Körper ist genau dann vollkommen, wenn er
- entweder Charakteristik 0 hat (insbesondere sind die bekannten Körper
,
und
vollkommen.)
oder
- prime Charakteristik
hat und der Frobenius-Homomorphismus ein Automorphismus ist. (Insbesondere sind alle endlichen Körper vollkommen.)[2]
Ein Beispiel eines nicht vollkommenen Körpers ist der Funktionenkörper für einen endlichen Körper
.
Äquivalente Charakterisierungen
Ein Körper ist vollkommen, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt.
- Kein über
irreduzibles Polynom hat mehrfache Nullstellen im Zerfällungskörper.
- Jede endliche Erweiterung von
ist separabel.
- Jede algebraische Erweiterung von
ist separabel.
- Der separable Abschluss von
ist algebraisch abgeschlossen.
Weblinks
- Perfect Field (Encyclopedia of Mathematics)
- Perfect Field (MathWorld)
Einzelnachweise
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