Neumann-Reihe
In der Mathematik ist eine Neumann-Reihe (oder neumannsche Reihe) eine Reihe der Form ,wobei ein stetiger linearer Operator auf einem normierten Raum ist und .
Die Reihe entspricht formal einer geometrischen Reihe und ist nach dem Mathematiker Carl Gottfried Neumann benannt, der sie 1877 in der Potentialtheorie verwendete. Sie findet u. a. Anwendung in der Funktionalanalysis zum Lösen von Operatorgleichungen und ist wichtig bei der Untersuchung stetiger Operatoren, vgl. Spektrum (Operatortheorie).
Eigenschaften
Sei ein normierter Raum und
ein stetiger Operator,
. Dabei ist
der Raum der linearen, beschränkten – und somit stetigen – Operatoren auf
.
- Falls die Neumann-Reihe
im Raum
bezüglich der Operatornorm konvergiert, dann ist
invertierbar und es gilt
.
- Die Neumann-Reihe konvergiert, falls
ein Banachraum ist und für die Operatornorm
gilt. Dann gilt auch:
.
- Es sind auch schwächere Voraussetzungen bekannt, unter denen die Reihe konvergieren kann, z. B. ist es ausreichend, wenn nur für eine Potenz des Operators
die Bedingung
gilt. Dann ist
Invertierbarkeit linearer Operatoren
Ist ein Banachraum, z. B.
, und
ein beschränkter Operator, z. B. eine quadratische Matrix
, so kann
für jeden Skalierungsfaktor
als
mit
dargestellt werden.
Gibt es nun einen Skalierungsfaktor, mit welchem in der induzierten Operatornorm gilt, so ist
invertierbar und die Inverse ist, unter Benutzung der Neumann-Reihe,
.
Offenheit der Menge der invertierbaren Operatoren
Seien zwei Banachräume und
ein invertierbarer Operator. Dann gilt für jeden weiteren Operator
:
- Gilt für den Abstand in der Operatornorm von
zu
die Abschätzung
mit
, so ist
ebenfalls invertierbar und die Inverse hat die Operatornorm
.
- Zum Beweis: Es wird
zerlegt und auf den zweiten Faktor die Neumann-Reihe angewandt. Die Konvergenz ist gesichert, denn nach Voraussetzung gilt:
.
Als Folge ergibt sich, dass die Menge der invertierbaren Operatoren offen ist bzgl. der Topologie der Operatornorm.
Literatur
- Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7