Maximales Ideal
Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.
Definition
Es sei ein Ring. Dann heißt ein Ideal
maximal, wenn
ein maximales Element ist in der durch die (mengentheoretische) Inklusion
halbgeordneten Menge aller echten Ideale. D. h., für jedes echte Ideal
gilt:
- Aus
folgt
Mit anderen Worten:
Ein echtes Ideal wird maximal genannt, wenn es kein anderes echtes Ideal von
gibt, das
ganz enthält.[1]
Bemerkungen
- Entsprechendes gilt jeweils für Links- bzw. Rechtsideale.
- Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann man zeigen, dass jedes echte Ideal in einem Ring mit Einselement 1 in einem maximalen Ideal enthalten ist.
- Daraus folgt wiederum, dass jedes Element eines kommutativen Ringes mit 1, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss. In nichtkommutativen Ringen ist das i. A. falsch, wie das Beispiel der Matrizenringe über (Schief)Körpern zeigt.
- Sei
ein Ideal des kommutativen Ringes
mit 1. Der Faktorring
ist genau dann ein Körper, wenn
maximal ist.[2] Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
- Ringe können mehrere maximale Ideale enthalten. Ein Ring, der nur ein einziges maximales Links- oder Rechtsideal besitzt, wird als lokaler Ring bezeichnet. Dies ist dann ein zweiseitiges Ideal, und der Faktorring
wird als der Restklassenkörper des Rings
bezeichnet.
- Ein maximales (zweiseitiges) Ideal
eines Ringes
ist genau dann prim, wenn
. Insbesondere ist
prim, falls
ein Einselement enthält.
Beispiele
- Im Ring
der ganzen Zahlen ist jedes Primideal außer dem Nullideal maximal. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig; Integritätsringe mit dieser Eigenschaft heißen (falls sie keine Körper sind) eindimensional. Alle Hauptidealringe haben diese Eigenschaft.
- Sei
der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen mit der punktweisen Multiplikation. Betrachte den Ringhomomorphismus
- Mit anderen Worten: diejenige Abbildung, die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von
ist
, also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit
, ein maximales Ideal.
Einzelnachweise
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