Matrizenring
Der Matrizenring, Matrixring oder Ring der Matrizen ist in der Mathematik der Ring der quadratischen Matrizen fester Größe mit Einträgen aus einem weiteren, zugrunde liegenden Ring. Die additive und die multiplikative Verknüpfung im Matrizenring sind die Matrizenaddition und die Matrizenmultiplikation. Das neutrale Element im Matrizenring ist die Nullmatrix und das Einselement die Einheitsmatrix. Der Matrizenring ist Morita-äquivalent zu seinem zugrunde liegenden Ring und erbt daher viele seiner Eigenschaften. Allerdings ist der Matrizenring im Allgemeinen nicht kommutativ, selbst wenn der zugrunde liegende Ring kommutativ sein sollte.
Der Matrizenring besitzt in der Ringtheorie eine besondere Bedeutung, da jeder Endomorphismenring eines freien Moduls mit endlicher Basis isomorph zu einem Matrizenring ist. Viele Ringe lassen sich somit als Unterring eines Matrizenrings realisieren. Dieses Vorgehen nennt man in Analogie zur Permutationsdarstellung einer Gruppe Matrixdarstellung des Rings.
Definition
Ist ein unitärer Ring, dann bildet die Menge der quadratischen Matrizen mit Einträgen aus diesem Ring
zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation als zweistelligen Verknüpfungen wiederum einen unitären Ring
,
der Ring der Matrizen über oder kurz Matrizenring genannt wird. Die Addition und die Multiplikation im Matrizenring
und im zugrunde liegenden Ring
werden dabei üblicherweise durch die gleichen Symbole dargestellt. Der Matrizenring wird auch als
,
oder
notiert.[1]
Beispiel
Ein einfaches Beispiel für einen Matrizenring ist die Menge der -Matrizen mit der Matrizenaddition
und der Matrizenmultiplikation
.
Als Ergebnis erhält man jeweils wieder eine -Matrix.
Eigenschaften
Ringaxiome
Die Menge der quadratischen Matrizen erfüllt mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation die Ringaxiome:
- Sie bildet mit der Matrizenaddition eine kommutative Gruppe, nachdem
eine kommutative Gruppe ist.
- Sie bildet mit der Matrizenmultiplikation eine Halbgruppe aufgrund der Assoziativität der Matrizenmultiplikation.
- Die Distributivgesetze gelten aufgrund der Distributivität der Matrizenmultiplikation mit der Matrizenaddition.
- Das neutrale Element bezüglich der Addition im Matrizenring ist die Nullmatrix
,
- wobei
das neutrale Element von
ist.
- Das Einselement im Matrizenring ist die Einheitsmatrix
,
- wobei
das Einselement von
ist. Um Trivialfälle auszuschließen, wird im Weiteren
angenommen.
Nullteiler
Die Nullmatrix ist im Matrizenring ein absorbierendes Element, das heißt für alle Matrizen
gilt
.
Der Matrizenring ist für nicht nullteilerfrei, denn aus
folgt nicht notwendigerweise
oder
. So gilt beispielsweise
.
Der Matrizenring ist demnach für kein Integritätsring. Entsprechend darf bei Matrixgleichungen auch nicht gekürzt werden, denn aus
folgt nicht notwendigerweise
.
Nichtkommutativität
Der Matrizenring ist für
nicht kommutativ, selbst wenn
kommutativ sein sollte, denn es gilt beispielsweise
.
Der Matrizenring ist genau dann kommutativ, wenn
ist und
kommutativ ist.[1]
Das Zentrum des Matrizenrings, also die Menge der Elemente, die mit allen anderen kommutieren, ist
,
wobei das Zentrum von
ist.[1]
Isomorphien
Der Matrizenring ist isomorph zum Ring der Endomorphismen (Selbstabbildungen) des freien Moduls
, also
.
Die komponentenweise Addition von Abbildungen entspricht dabei der Matrizenaddition und die Hintereinanderausführung von Abbildungen der Matrizenmultiplikation. Der Nullmatrix entspricht die Nullabbildung und der Einsmatrix die identische Abbildung.
Ein unitärer Ring ist genau dann isomorph zum Matrizenring
, wenn es eine Menge von
Elementen
,
, gibt, sodass
sowie
gelten und wenn der Zentralisator dieser Elemente in isomorph zu
ist.[1]
Kenngrößen
Determinante
Ist kommutativ, dann wird die Determinante einer Matrix als normierte alternierende Multilinearform
definiert. Die Determinante einer Matrix kann dann über die Leibniz-Formel
ermittelt werden, wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe vom Grad
läuft und
das Vorzeichen einer Permutation bezeichnet. Für die Determinante des Produkts zweier Matrizen gilt der Determinantenproduktsatz
.
Rang
Der Spaltenrang einer Matrix wird als die maximale Zahl linear unabhängiger Spaltenvektoren in dem freien Modul definiert. Entsprechend ist der Zeilenrang einer Matrix die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilenvektoren. Ist
kommutativ, dann stimmen Spaltenrang und Zeilenrang überein und man spricht von dem Rang der Matrix, wobei
gilt. Für den Rang des Produkts zweier Matrizen gilt dann[2]
.
Unterstrukturen
Unterringe
Die quadratischen Matrizen mit Einträgen aus einem Untering von
bilden ebenfalls einen Unterring
im Matrizenring
. Matrizenringe weisen jedoch weitere Unterringe auf. Beispielsweise werden strukturelle Unterringe gebildet durch:
- die Menge der Diagonalmatrizen; dieser Unterring ist kommutativ, falls
kommutativ ist
- die Menge der (strikt) oberen oder (strikt) unteren Dreiecksmatrizen
- die Menge der Blockdiagonalmatrizen oder Blockdreiecksmatrizen
- die Menge der Matrizen, bei denen bestimmte Spalten oder Zeilen nur Nulleinträge besitzen
Viele Ringe lassen sich als Unterring eines Matrizenrings realisieren. Dieses Vorgehen nennt man in Analogie zur Permutationsdarstellung einer Gruppe Matrixdarstellung des Rings. Diese Unterringe werden gelegentlich auch als Matrizenringe bezeichnet und der Matrizenring dann zur besseren Unterscheidung voller Matrizenring genannt.
Einheiten
Die Einheitengruppe im Matrizenring ist die allgemeine lineare Gruppe
bestehend aus den regulären Matrizen. Für die Inverse des Produkts zweier regulärer Matrizen
gilt
.
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten eine Basis des freien Moduls bilden. Ist
kommutativ, dann existiert zu jeder Matrix
eine Adjunkte
, sodass
gilt. In diesem Fall ist die Invertierbarkeit einer Matrix äquivalent zur Invertierbarkeit ihrer Determinante in
.[1]
Ideale
Die Ideale im Matrizenring sind gerade durch
gegeben, wobei
ein Ideal von
ist. Die Faktorringe des Matrizenrings werden damit durch
charakterisiert.
Matrizenalgebra
Ist speziell ein Körper oder Schiefkörper, dann ist der Matrizenring
einfach, das heißt, er besitzt nur den Nullring
und den ganzen Ring
als triviale Ideale. Nach dem Satz von Artin-Wedderburn ist jeder halbeinfache Ring isomorph zu einem endlichen direkten Produkt von Matrizenringen über Schiefkörpern. Mit der komponentenweisen Skalarmultiplikation bildet der Matrizenring
eine assoziative Algebra.
Siehe auch
- Matrizenraum, der Vektorraum der Matrizen über einem Körper
- Matrixdarstellung von Quaternionen
Literatur
- Michael Artin: Algebra. Springer, 1998, ISBN 3-7643-5938-2.
- Paul Cohn: An Introduction to Ring Theory. Springer, 2000, ISBN 1-85233-206-9.
- Serge Lang: Algebra. 3. Auflage. Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X.
Einzelnachweise
Weblinks
- D.A. Suprunenko: Matrix ring. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- CWoo: Matrix ring. In: PlanetMath. (englisch)