Konstanter Funktor
Der konstante Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Ein konstanter Funktor zwischen zwei Kategorien ist ein Funktor, der jedes Objekt auf ein festes Objekt der Zielkategorie und jeden Morphismus auf die Identität dieses festen Objekts abbildet.
Definition
Seien und
zwei Kategorien,
sei ein Objekt in
.Die Zuordnungen
- Objekt aus
- Morphismus aus
bilden einen Funktor .Man nennt diesen den konstanten Funktor mit Wert
und bezeichnet ihn oft auch mit
.[1][2][3]
Bemerkungen
- Dass es sich bei diesen Zuordnungen um einen Funktor handelt, ergibt sich direkt aus
.
- Kegel und Kokegel sind natürliche Transformationen zwischen Funktoren auf kleinen Kategorien konstanten Funktoren.
Der Funktor der konstanten Funktoren
Seien und
zwei Kategorien,
und
Objekte aus
, die auch die durch sie gegebenen konstanten Funktoren bezeichnen.Ist
und
definiert durch
für alle Objekte
, so ist
eine natürliche Transformation
zwischen den konstanten Funktoren.Auf diese Weise erhält man einen Funktor
von
in die Funktorkategorie
, der jedes Objekt
auf den zugehörigen konstanten Funktor abbildet.[4]Der Funktor
erhält sowohl Limites als auch Kolimites.[5]
Ist eine kleine Kategorie und existieren in
alle Limites mit Indexkategorie
, so hat man eine Adjunktion
.Dabei bezeichnet
einen durch Wahlen von Limes-Objekten gebildeten Funktor
.
Ist eine kleine Kategorie und existieren in
alle Kolimites mit Indexkategorie
, so hat man eine Adjunktion
.Dabei bezeichnet
einen durch Wahlen von Kolimes-Objekten gebildeten Funktor
.[6]
Trifft beides zu, erhält man die leicht einprägsame Formel (die Pfeile unter dem Limeszeichen in nachstehender Formel zeigen zur Mitte):
.