Konjugation (Gruppentheorie)
Die Konjugationsoperation ist eine Gruppenoperation, die eine Gruppe in Konjugationsklassen zerlegt. Die Elemente einer Konjugationsklasse haben viele Gemeinsamkeiten, sodass eine nähere Betrachtung dieser Klassen wichtige Einblicke in die Struktur nicht-abelscher Gruppen ermöglicht. Bei abelschen Gruppen sind Konjugationsklassen nebensächlich, da jedes Gruppenelement eine eigene Konjugationsklasse bildet.
Konjugationsoperation
Die Konjugationsoperation ist eine Operation einer Gruppe auf sich selbst, die entweder als Linksoperation
oder als Rechtsoperation
definiert ist.
Für die Rechtsoperation ist die exponentielle Schreibweise
üblich. In dieser Notation erfüllt die Konjugationsoperation die Beziehung
. Im Folgenden wird die Konjugationsoperation als Linksoperation definiert.
Zwei Elemente und
einer Gruppe G heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element
gibt, sodass
ist. Die Konjugiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Sie besitzt also folgende Eigenschaften:
- Jedes Element
ist konjugiert zu sich selbst (Reflexivität).
- Ist
konjugiert zu
, so ist auch
konjugiert zu
(Symmetrie).
- Ist
konjugiert zu
und
konjugiert zu
, dann ist auch
konjugiert zu
(Transitivität).
Alle Elemente, die zueinander konjugiert sind, bilden jeweils eine Äquivalenzklasse, die sogenannte Konjugationsklasse von :
Dabei kann als ein beliebiges Element der Konjugationsklasse gewählt werden. Die Konjugationsklassen sind die Bahnen der Konjugationsoperation.
Der Stabilisator
eines Elementes ist der Zentralisator von
.
Zwei Untergruppen und
einer Gruppe
heißen konjugiert zueinander, wenn es ein
gibt mit
.
Eine Untergruppe einer Gruppe
ist invariant unter Konjugation, wenn für alle Elemente
aus
und alle Elemente
aus
das Produkt
wieder in
liegt:
Eine unter Konjugation invariante Untergruppe einer Gruppe wird als Normalteiler der Gruppe bezeichnet. Normalteiler erlauben die Bildung von Faktorgruppen der Gruppe.
Zwei Gruppenwirkungen und
heißen konjugiert zueinander, wenn
und
als Untergruppen der Automorphismengruppe
konjugiert zueinander sind.
Konjugation
Die Konjugation mit ist die Abbildung
.
Sie entsteht aus der Konjugationsoperation, indem festgehalten wird. Die Konjugation ist ein Automorphismus von
. Automorphismen von
, die als Konjugation mit einem Element von
geschrieben werden können, werden als innere Automorphismen bezeichnet. Daher kommt auch die Bezeichnung
, bei der das „int“ für „interior“ steht.[1]Die inneren Automorphismen
bilden einen Normalteiler der Automorphismengruppe von
.Als Kern des Gruppenhomomorphismus
erhält man das Zentrum von
.Nach dem Homomorphiesatz vermittelt die Abbildung
also einen Isomorphismus von
nach
.