Kolmogorow-Verteilung
Die Kolmogorow-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die als Grenzverteilung einer Teststatistik des Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstests für einen über alle Grenzen wachsenden Stichprobenumfang auftritt.
Definition
Eine stetige Zufallsvariable heißt Kolmogorow-verteilt, falls sie die Verteilungsfunktion
hat.[1][2]Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Kolmogorow-Verteilung.
Eigenschaften
Eine alternative Summendarstellung der Verteilungsfunktion[3][4] ist
Diese alternative Darstellung ist für numerische Berechnungen in bestimmten Fällen günstiger.[3]
Für eine Kolmogorow-verteilte Zufallsvariable gilt
Die Zufallsvariable hat den Erwartungswert
und die Varianz
Anwendung
Die Kolmogorow-Verteilung wird als approximative Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teststatistik für die Durchführung eines approximativen Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstests verwendet, falls der Stichprobenumfang hinreichend groß ist, um die asymptotische Verteilung der Teststatistik – nämlich die Kolmogorow-Verteilung – zu verwenden. Die -Quantile der Kolmogorow-Verteilung für sind näherungsweise .[5]
Eine Approximation der Verteilungsfunktion ergibt sich, wenn nur der erste Summand für verwendet wird,
Das -Quantil der Kolmogorow-Verteilung ergibt sich dann näherungsweise als Lösung der Gleichung . Dies führt zur Näherungsformel
- ,
die zu Werten führt, die bis zur dritten Nachkommastelle mit den oben angegebenen Tabellenwerten übereinstimmen. Manchmal wird diese Formel angegeben, ohne klarzustellen, dass es sich um eine doppelte Approximation handelt.[6] Die asymptotische Verteilung wird für endlichen Stichprobenumfang verwendet und dabei wird nur die Approximation der Kolomogorow-Verteilung verwendet. Wie der Vergleich der Funktionen und in der Abbildung zeigt, ist die Approximation zur Quantilbestimmung nur für hinreichend kleine Werte von , z. B. für , anwendbar. Insbesondere ist die Approximation keine Verteilungsfunktion.
Theoretischer Hintergrund
Die reellwertigen Zufallsvariablen seien stochastisch unabhängig und identisch verteilt mit der stetigen Verteilungsfunktion .
- Dann hängt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Stichprobenfunktion
- wobei
- die zufällige empirische Verteilungsfunktion bezeichnet, nicht von ab. ist also bezüglich der Klasse aller stetigen Verteilungsfunktionen eine verteilungsfreie Statistik.
- Außerdem konvergiert die Folge in Verteilung gegen die Kolmogorow-Verteilung, es gilt daher
- .
ist die Teststatistik des Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest für den Stichprobenumfang . Sie heißt auch Kolmogorow-Smirnow-Statistik. Es gibt Tabellen für Quantile der Verteilung von .[7]
Für große Stichprobenumfänge können die Quantile der Kolmogorow-Verteilung verwendet werden.[5] Es gibt eine Tabelle für Werte der Verteilungsfunktion der Kolomogorov-Verteilung.[8]
Literatur
- Kevin Ford: From Kolmogorov’s theorem on empirical distribution to number theory. In: Eric Charpentier, Annick Lesne, Nikolai Kapitonowitsch Nikolski (Hrsg.): Kolmogorov’s Heritage in Mathematics. Springer, Berlin / Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-36349-1, S. 97–108, doi:10.1007/978-3-540-36351-4_5.
- A. Kolmogoroff: Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione. In: Giornale dell’Istituto italiano degli attuari. Band IV, Nr. 1, 1933, S. 83–91 (italienisch, sbn.it).
- A. Kolmogorov: On the Empirical Determination of a Distribution Function. In: Samuel Kotz, Norman L. Johnson (Hrsg.): Breakthroughs in Statistics, Volume II – Methodology and Distribution. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1992, ISBN 3-540-94037-5, S. 106–113, doi:10.1007/978-1-4612-4380-9_10 (Übersetzt aus dem Italienischen von Quirino Meneghini, 1990).
- P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Kolmogorow-Verteilung, S. 188–189, 627.
- M. A. Stephens: Introduction to Kolmogorov (1933) On the Empirical Determination of a Distribution Function. In: Samuel Kotz, Norman L. Johnson (Hrsg.): Breakthroughs in Statistics, Volume II – Methodology and Distribution. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1992, ISBN 3-540-94037-5, S. 93–105, doi:10.1007/978-1-4612-4380-9_9.