Kohärente Garbe
In den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und komplexen Analysis sind kohärente Garben das Analogon endlich erzeugter Moduln über noetherschen Ringen.
Definition
Es sei ein geringter Raum, d. h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe
von Ringen. Dann heißt eine
-Modulgarbe
kohärent, wenn
endlich erzeugt ist, d. h. jeder Punkt
von
hat eine offene Umgebung
, auf der eine Surjektion
existiert, und
- für jede offene Teilmenge
von
und jeden Morphismus
ist der Kern endlich erzeugt
Eigenschaften
- Die kohärenten Garben bilden eine abelsche Kategorie, die stabil unter Erweiterungen ist. Das bedeutet insbesondere: Ist
- eine kurze exakte Folge von Modulgarben, und sind zwei der drei Garben kohärent, so ist es auch die dritte.
- Der Träger einer kohärenten Garbe ist abgeschlossen. (Dies gilt allgemeiner für beliebige endlich erzeugte Modulgarben.)
Kohärente Garben in der algebraischen Geometrie
- Ist
ein lokal noethersches Schema, so sind die kohärenten Garben gerade diejenigen quasikohärenten Garben, die lokal den endlich erzeugten Moduln entsprechen.
- Kohärenzsatz: Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen Morphismen sind kohärent, sofern das Zielschema lokal noethersch ist. Ist insbesondere
ein noetherscher Ring und
ein eigentliches
-Schema, so sind die Kohomologiegruppen kohärenter Garben als
-Moduln endlich erzeugt.
Kohärente Garben in der komplexen Analysis
- Kohärenzsatz von Oka: Im Unterschied zur algebraischen Geometrie ist die Tatsache, dass
selbst kohärent ist, nicht trivial.
- Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen holomorphen Abbildungen sind kohärent.
Literatur
- Hans Grauert, Reinhold Remmert, Coherent Analytic Sheaves. Springer-Verlag, Berlin 1984. ISBN 3-540-13178-7
Allgemeines: Anhang, §3; Kohärenz der Strukturgarbe: Kap. 2, §5; direkte Bilder: Kap. 10, §4 - A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)
Allgemeines: 0I, 5.3; direkte Bilder: III, 3.2
🔥 Top keywords: Wikipedia:HauptseiteSpezial:SucheFußball-Europameisterschaft 2024Sabine DöringKylian MbappéSpecial:MyPage/toolserverhelferleinconfig.jsAntoine GriezmannRalf RangnickFußball-EuropameisterschaftDomenico TedescoJodie DevosFußball-Europameisterschaft 2021Marko ArnautovićBastian SchweinsteigerDavid AlabaRomelu LukakuListe der größten AuslegerbrückenFußball-Weltmeisterschaft 2022SlowakeiMatija ŠarkićChristoph KramerStraßenbahnunfall in der Grüne (Iserlohn)Fußball-WeltmeisterschaftN’Golo KantéÖsterreichische BundeshymneFußball-Weltmeisterschaft 2026Aufstand vom 17. Juni 1953Der Garten der Finzi ContiniAlmuth SchultMarcel Sabitzer17. JuniDidier DeschampsHauptseiteChatGPTWikipedia:Wiki Loves Earth 2024/DeutschlandUrsula von der LeyenSchmökerJosef FritzlBettina Stark-Watzinger