Hopf-Algebra
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Eine Hopf-Algebra – benannt nach dem Mathematiker Heinz Hopf – über einem Körper ist eine Bialgebra mit einer -linearen Abbildung, der sog. „Antipode“, , so dass das folgende Diagramm kommutiert:
Formal in der Sweedler-Notation – benannt nach Moss Sweedler – geschrieben heißt das:
Faltung und Antipode
Sei eine Algebra und
eine Koalgebra. Die
-linearen Abbildungen von
nach
bilden eine Algebra mit Produkt
, genannt Faltung, definiert durch
.
Das neutrale Element in dieser Algebra ist , denn
und entsprechend auch
.
Für eine Bialgebra bilden die
-linearen Abbildungen von
nach
auf diese Weise eine Algebra. Die Antipode
ist das zur identischen Abbildung inverse Element in dieser Algebra. Das heißt
.
Es lässt sich zeigen, dass die Antipode einer Hopfalgebra stets eindeutig ist, und gleichzeitig ein Antialgebrahomomorphismus und ein Anticoalgebrahomomorphismus ist. Mithilfe dieser Tatsache lässt sich der Wert der Antipode auf jedem Element der Hopfalgebra ausrechnen, wenn die Werte der Antipode auf einem Algebraerzeugendensystem bekannt sind.
Beispiele
Gruppenalgebra
Ein Beispiel für eine Hopf-Algebra ist die Gruppenalgebra . Sie wird durch
für
und
für
zu einer Bialgebra, die Antipode
für
macht sie zu einer Hopf-Algebra.
Universelle einhüllende Algebra
Die universelle einhüllende Algebra einer Lie-Algebra
ist auf natürliche Weise eine Hopfalgebra. Für ein Element
ist das Koprodukt durch
und die Koeins durch
definiert.
definiert die Antipode.
Gruppenartige und primitive Elemente
Ein Element einer Hopfalgebra heißt „gruppenartig“, wenn
und
. Für die Antipode gilt dann
.
Ein Element heißt „primitiv“, wenn
. Daraus folgt, dass
und
.
Ein Element heißt „schiefprimitiv“, wenn
mit gruppenähnlichen Elementen
und
. Daraus folgt, dass
und
.
Literatur
- Christian Kassel: Quantum Groups (= Graduate Texts in Mathematics. 155). Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 0-387-94370-6.
- Moss E. Sweedler: Hopf algebras. Benjamin, New York NY 1969.