Notwendige und hinreichende Bedingung
Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung sind Begriffe aus der mathematischen Beweisführung, die Bedingungen in zwei verschiedene Typen unterteilt. Die unterschiedlichen Beziehungen zwischen Bedingendem und Bedingtem werden in der Logik, vor allem in der Aussagenlogik, behandelt.
Notwendige Bedingung
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Die Aussage ist eine notwendige Bedingung für die Aussage
, wenn sie zwingend wahr (erfüllt) sein muss, wenn
wahr ist. Der Zusammenhang wird durch die symbolische Schreibweise
ausgedrückt. Gibt es mehrere notwendige Bedingungen
für eine Aussage
, d. h. gilt
, so müssen alle gleichzeitig erfüllt sein, wenn
erfüllt ist. Also gilt dann auch
(logische Konjunktion).
Gibt es verschiedene, voneinander logisch unabhängige, notwendige Bedingungen, sodass für alle Paare von Bedingungen mit
gilt, so kann keine für sich allein hinreichend sein, da dies dem widerspräche, dass die anderen notwendig sind. Eine notwendige Bedingung ist also unersetzlich für das Eintreten eines Ereignisses. Wenn sie aber nicht zugleich hinreichend ist, genügt sie allein nicht, damit das Ereignis eintritt. Mit anderen Worten: Ohne sie geht es nicht (daher auch der Ausdruck lateinisch condicio sine qua non, siehe auch Conditio-sine-qua-non-Formel), für das Eintreten von
ist aber eventuell noch etwas anderes nötig.
Hinreichende Bedingung
Die Gültigkeit einer hinreichenden Bedingung sorgt zwangsläufig für die Gültigkeit der Konsequenz
. Dieser Zusammenhang wird durch die symbolische Schreibweise
ausgedrückt, sprich „die Bedingung
impliziert die Konsequenz
“ oder „aus
folgt
“. Der Pfeil, der den Zusammenhang symbolisiert, steht für die Schlussfolgerung (Implikation). Es kann andere hinreichende Bedingungen geben, die ebenfalls die Gültigkeit der Aussage
nach sich ziehen.
Aussagenlogisch betrachtet: Hat eine Aussage mehrere hinreichende Bedingungen
, d. h. gelten die Subjunktionen
, so genügt es, dass mindestens eine erfüllt ist (logische Disjunktion), damit
gilt:
. Für eine hinreichende Bedingung gilt mit anderen Worten: Durch sie geht es (daher auch der Fachausdruck Conditio per quam).
Äquivalente Aussagen
Falls eine Aussage sowohl eine hinreichende als auch eine notwendige Bedingung für die Aussage
ist, d. h.
impliziert
und
impliziert
, werden die Aussagen
und
äquivalent genannt. Aussagenlogisch ist dafür das Kürzel iff – engl. if and only if üblich; deutschsprachige Entsprechungen sind g. d. w., abgekürzt für genau dann, wenn und dann und nur dann. Dass die Notwendigkeit von
auch durch die Implikation
ausgedrückt werden kann, erklärt die symbolische Darstellung
für die Äquivalenz von
und
.
INUS-Bedingung
Die INUS-Bedingung des australischen Philosophen John Leslie Mackie stellt ein geschachteltes Konzept dar: Gemeint ist ein nicht hinreichender, aber notwendiger Teil einer nicht notwendigen, aber hinreichenden Bedingung. Dieses Konzept soll insbesondere der Erkenntnis gerecht werden, dass selten äquivalente Bedingungen für empirische Ereignisse ausgemacht werden können, selbst unter ceteris-paribus-Klauseln.
Weblinks
- Necessary and Sufficient Conditions. Eintrag in Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.