Heegaard-Zerlegung
In der Mathematik sind Heegaard-Zerlegungen ein wichtiges Hilfsmittel der 3-dimensionalen Topologie. Sie sind nach dem dänischen Mathematiker Poul Heegaard benannt.[1]
Definition
Eine Heegaard-Zerlegung einer geschlossenen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit besteht aus zwei Henkelkörpern
und
und einem Homöomorphismus
, so dass
aus
und
durch Verkleben mittels
entsteht, d. h., man hat einen Homöomorphismus
für die durch
gegebene Relation.
Das Geschlecht der Flächen heißt das Geschlecht der Heegaard-Zerlegung. Die in
eingebettete Fläche
heißt Heegaard-Fläche der Heegaard-Zerlegung.
Das Heegaard-Geschlecht ist das Minimum des Geschlechts über alle Heegaard-Zerlegungen von
. Die Heegaard-Euler-Charakteristik
ist das Negative des Maximums der Euler-Charakteristik über alle Heegaard-Flächen, also
.
Der Heegaard-Gradient von ist das Infimum
über alle endlichen Überlagerungen von
, wobei
den Grad der Überlagerung
bezeichnet.
Existenz
Aus der Morse-Theorie folgt, dass jede geschlossene orientierbare 3-Mannigfaltigkeit eine Heegaard-Zerlegung besitzt. Alternativ ergibt sich die Existenz von Heegaard-Zerlegungen auch aus der Triangulierbarkeit von 3-Mannigfaltigkeiten, man kann die Umgebung des 1-Skeletts einer Triangulierung als Henkelkörper wählen, sein Komplement ist dann als Umgebung des 1-Skeletts der dualen Triangulierung ebenfalls ein Henkelkörper.
Beispiele
- Standard-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre: Seien
Henkelkörper vom Geschlecht
(d. h. Vollkugeln) und
, dann ist
.
- Seien
Henkelkörper vom Geschlecht
(d. h. Volltori) und
, dann ist
.
- Geschlecht-1-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre: Seien
Henkelkörper vom Geschlecht
und
bilde die Longitude auf den Meridian und den Meridian auf die Longitude ab, dann ist
.
- Standard-Heegaard-Zerlegung der Linsenräume: Seien
Henkelkörper vom Geschlecht
und
sei durch eine beliebige Matrix
gegeben, dann ist
ein Linsenraum.
- Heegaard-Zerlegung von Flächenbündeln: Jedes Flächenbündel mit einer Faser vom Geschlecht
hat eine Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht
. Insbesondere ist der Heegaard-Gradient eines Flächenbündels
. Weil nach dem Satz von Agol jede 3-Mannigfaltigkeit von einem Flächenbündel endlich überlagert wird, ist damit der Heegaard-Gradient stets trivial.
Stabilisierungen, Reduzibilität, Irreduzibilität
Aus einer Heegaard-Zerlegung einer Mannigfaltigkeit kann man durch Stabilisierung (Ankleben zusätzlicher Henkel, für die jeweils Longituden auf Meridiane und Meridiane auf Longituden abgebildet werden) weitere Heegard-Zerlegungen derselben 3-Mannigfaltigkeit mit Heegaard-Flächen höheren Geschlechts erhalten. Diese durch Stabilisierung erhaltenen Heegaard-Zerlegungen sind reduzibel, d. h., es gibt in der Heegaard-Fläche eine geschlossene Kurve, die in beiden Henkelkörpern (aber nicht in der Heegaard-Fläche) eine Kreisscheibe berandet. Eine Heegaard-Zerlegung heißt irreduzibel, wenn es keine solche Kurve gibt. Das Lemma von Haken besagt, dass Heegaard-Zerlegungen einer reduziblen 3-Mannigfaltigkeit immer reduzibel sind.
Eine Heegaard-Zerlegung heißt schwach reduzibel, wenn es in der Heegaard-Fläche zwei disjunkte (nicht null-homotope) geschlossene Kurven gibt, die Kreisscheiben in unterschiedlichen Henkelkörpern der Heegaard-Zerlegung beranden. Andernfalls heißt die Heegaard-Zerlegung stark irreduzibel. Casson und Gordon bewiesen 1987, dass alle irreduziblen Heegaard-Zerlegungen stark irreduzibel sind.
Mannigfaltigkeiten mit Rand
Für eine 3-Mannigfaltigkeit mit Rand definiert man Heegaard-Zerlegungen analog als Zerlegungen
in zwei Kompressionskörper mit
.
Eine verallgemeinerte Heegaard-Zerlegung von ist eine Zerlegung in (nicht notwendig zusammenhängende) Kompressionskörper
und Flächen
mit
und
. Die Vereinigung der Kompressionskörper muss ganz
sein und ihre inneren Kerne sollen disjunkt sein.
Literatur
- Saveliev, Nikolai: Lectures on the topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson invariant. Second revised edition. de Gruyter Textbook. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2012. ISBN 978-3-11-025035-0
Weblinks
- Jesse Johnson: Notes on Heegaard splittings