Exponentiales Objekt

Sei ${\displaystyle \mathbf {K} }$ eine Kategorie, ${\displaystyle Z}$ und ${\displaystyle Y}$ Objekte in ${\displaystyle \mathbf {K} }$ . Weiter soll ${\displaystyle \mathbf {K} }$ alle binären Produkte mit ${\displaystyle Y}$ enthalten. Ein Objekt ${\textstyle Z^{Y}}$ zusammen mit einem Morphismus ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\rightarrow Z}$ wird Exponential genannt, falls für jedes Objekt ${\displaystyle X}$ mit Morphismus ${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$ ein eindeutiger Morphismus ${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ (genannt Transposition von ${\displaystyle g}$ ) existiert, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Diese eindeutige Zuweisung eines ${\displaystyle \lambda g}$ zu jedem ${\displaystyle g}$ erzeugt einen Isomorphismus ${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).}$

Bezeichnet man bei festem Objekt ${\displaystyle Y}$ mit ${\displaystyle (-\times Y)}$ den Produktfunktor, der jedes Objekt ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle X\times Y}$ abbildet mit der offensichtlichen Wirkung auf Morphismen, und mit ${\displaystyle (-)^{Y}}$ den Exponentialfunktor, der jedes Objekt ${\displaystyle Z}$ auf das exponentiale Objekt ${\displaystyle Z^{Y}}$ abbildet mit der offensichtlichen Wirkung auf Morphismen, so besagt obige Beziehung nichts anderes, als dass ${\displaystyle (-\times Y)}$ linksadjungiert zu ${\displaystyle (-)^{Y}}$ ist^[2], in Zeichen

${\displaystyle (-\times Y)\dashv (-)^{Y}}$ .