Ampler Divisor
Der Ample Divisor ist in der Mathematik ein Begriff aus der algebraischen Geometrie. Die algebraische Geometrie verknüpft die Gleichungen der abstrakten Algebra mit der Geometrie. Divisoren beschreiben die Nullstellen von algebraischen Kurven, und etwas vereinfacht sind sie ampel, wenn ihre Basisfunktionen keine gemeinsamen Nullstellen haben.
Die amplen Divisoren zeigen, ob die durch Polynome beschriebenen algebraische Kurven auf einen projektiven Raum abgebildet werden können.
Definition
Sei ein Divisor auf einer algebraischen Kurve
und
der Vektorraum derjenigen rationalen Funktionen auf
, deren Hauptdivisor
die Ungleichung
erfüllt.
heißt sehr ampel, wenn es eine Basis
von
gibt, so dass die Funktionen
keine gemeinsame Nullstelle auf
haben und die Abbildung
eine Einbettung in den projektiven Raum ist.
heißt ampel, wenn es eine natürliche Zahl
gibt, so dass
sehr ampel ist.
Beispiele
- Sei
die projektive Gerade und
. Eine rationale Funktion
mit
darf also nur in
eine Polstelle haben und dort höchstens vom Grad 2. Damit ist
von der Form
für ein homogenes Polynom
vom Grad 2. Eine Basis des Vektorraums dieser Funktionen ist zum Beispiel
. Die mit dieser Basis definierte Abbildung
ist die Einbettung der projektiven Gerade als abgeschlossene Parabel in
. Also ist
sehr ampel.[1]
- Eine elliptische Kurve in
schneide eine projektive Gerade in drei Punkten
. Dann ist
sehr ampel.[2]
- Der kanonische Divisor einer algebraischen Kurve vom Geschlecht
ist sehr ampel wenn die Kurve nicht hyperelliptisch ist.[3]
Literatur
- E. Arbarello, M. Cornalba, P. A. Griffiths, J. Harris: Geometry of algebraic curves. Vol. I (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 267). Springer-Verlag, New York 1985, ISBN 0-387-90997-4
Weblinks
- Christina Birkenhake: Algebraische Geometrie – Ein Einblick (PDF; 4,8 MB) 2008