Alexander-Polynom
Das Alexander-Polynom ist in der Knotentheorie eine Invariante eines Knoten. Das Polynom wurde von dem Topologen James Alexander 1928 entdeckt und ist das erste Knotenpolynom.[1]
Definition
Für den Knoten K in der 3-Sphäre betrachtet man die unendliche zyklische Überlagerung X des Knotenkomplements. (Dieses kann man konstruieren, indem man das Knotenkomplement entlang einer Seifert-Fläche aufschneidet und abzählbar viele Kopien der so entstandenen Mannigfaltigkeit zyklisch entlang der Schnittstellen miteinander verklebt.) Die Decktransformationsgruppe dieser Überlagerung ist zyklisch, sei ihr Erzeuger. Der
-Modul
heißt Alexander-Modul. Der Alexander-Modul ist endlich präsentiert, jede Präsentationsmatrix heißt Alexander-Matrix. Das Alexander-Ideal in
ist das von den
-Minoren dieser Matrix erzeugte Ideal, wobei
die Anzahl der Erzeuger der Präsentation ist. (Man kann zeigen, dass das Alexander-Ideal unabhängig von der gewählten Präsentation ist und nur vom Knoten abhängt.) Alexander bewies, dass das Alexander-Ideal ein Hauptideal ist. Das Alexander-Polynom
ist definiert als Erzeuger des Alexander-Ideals (und ist damit nur bis auf Multiplikation mit
eindeutig festgelegt).
Berechnung
John Horton Conway zeigte 1969, dass sich das Alexander-Polynom mit Hilfe von zwei Regeln berechnen lässt:
- für jede Projektion
des trivialen Knotens, und
,
- wobei
,
, and
orientierte Linkdiagramme sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Skein_%28HOMFLY%29.svg/200px-Skein_%28HOMFLY%29.svg.png)
Dies liefert insbesondere eine Normierung des eigentlich nur bis auf Multiplikation mit bestimmten Alexander-Polynoms. Eng mit dieser Normierung zusammen hängt das Alexander-Conway-Polynom oder Conway-Polynom, welches durch die Relationen
definiert wird und mit dem wie eben normierten Alexander-Polynom über die Gleichung zusammenhängt.
Das Alexander-Polynom lässt sich auch durch die Seifert-Matrix V bestimmen:[2] .
Das Alexander-Polynom ist symmetrisch in und
. Man hat
.
Beispiele und Anwendungen
Der Grad des Alexander-Polynoms liefert eine untere Schranke für , wobei
das Geschlecht einer beliebigen Seifert-Fläche ist. (Dies folgt unmittelbar aus der Berechnung des Alexander-Polynoms über die Seifert-Matrix, weil diese eine
-Matrix ist.)
Beispiel: Das Alexander-Polynom des Kleeblattknotens ist .Der Kleeblattknoten besitzt eine Seifert-Fläche mit Geschlecht 1 und der Grad seines Alexander-Polynoms ist 2.
Wenn ein Knoten ein alternierendes Knotendiagramm besitzt, dann ist der Grad des Alexanderpolynoms (Satz von Crowell-Murasugi).
Wenn das Knotenkomplement eine Faserung über dem Kreis mit einer Seifert-Fläche als Faser zulässt (man spricht dann von gefaserten Knoten), dann ist der Grad des Alexander-Polynoms exakt
. Weiterhin muss
dann monisch sein, d. h. die Koeffizienten des höchsten und niedrigsten Terms sind 1 oder −1. Tatsächlich ist das Alexander-Polynom in diesem Fall gerade das charakteristische Polynom für die Wirkung der Monodromie der Faserung auf der 1. Homologie der Seifert-Fläche.
Das Alexander-Polynom eines Scheibenknotens ist stets von der Form für ein ganzzahliges Laurent-Polynom
(Satz von Fox-Milnor).
Verallgemeinerungen
Das HOMFLY-Polynom verallgemeinert neben anderen Knoten-Polynomen auch das Alexander-Polynom: es gilt
.
Das Alexander-Polynom ist die Euler-Charakteristik einer bigraduierten Homologietheorie.[3]