51-Eck
Das 51-Eck oder Pentakontahenagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch einundfünfzig Punkte und deren einundfünfzig Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.
![Regelmäßiges 51-Eck](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/01-51-Eck.svg/350px-01-51-Eck.svg.png)
Das – im Folgenden ausschließlich beschriebene – regelmäßige 51-Eck ist ein nicht überschlagenes Polygon mit 51 gleich langen Seiten auf einem gemeinsamen Umkreis. Es ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen () darstellbar ist.
Dieser Artikel behandelt im Folgenden das regelmäßige 51-Eck.
Größen
Größen eines regelmäßigen 51-Ecks | ||
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Innenwinkel | ||
Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) | ||
Seitenlänge | ||
Umkreisradius | ||
Inkreisradius | ||
Höhe | ||
Flächeninhalt |
Innenwinkel
Der Innenwinkel wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen. In der allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone steht die Variable
für die Anzahl der Eckpunkte des Polygons. In diesem Fall ist für die Variable die Zahl
einzusetzen.
Zentriwinkel
Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel wird von zwei benachbarten Umkreisradien
eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable
die Zahl
einzusetzen.
Seitenlänge und Umkreisradius
Das 51-Eck ist in einundfünfzig gleichschenklige Dreiecke sogenannte Teildreiecke teilbar. Aus der Hälfte eines solchen Teildreiecks, sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete (halbe Seitenlänge) , der Hypotenuse (Umkreisradius)
und dem halben Zentriwinkel
erhält man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge
wie folgt
durch Umformen erhält man den Umkreisradius
Inkreisradius
Der Inkreisradius ist die Höhe eines Teildreiecks, senkrecht zur Seitenlänge
des 51-Ecks. Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlänge verwendet, gilt für den Inkreisradius
Höhe
Die Höhe eines regelmäßigen 51-Ecks ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius
und Umkreisradius
.
Flächeninhalt
Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein . Für die Berechnung des 51-Ecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge
und des Inkreisradius
herangezogen, worin
für die Höhe
eingesetzt wird.
daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks
zusammengefasst ergibt sich
und für die Fläche des gesamten 51-Ecks
Konstruktion
Wie oben in Regelmäßiges 51-Eck beschrieben, ist das 51-Eck als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar. Da sich die Anzahl seiner Ecken aus der Multiplikation der beiden Fermatschen Primzahlen und
ergibt, kann das regelmäßige 51-Eck durch eine Erweiterung einer bereits bekannten Konstruktion des Siebzehnecks gefunden werden. Die zwei Polygone Dreieck und Siebzehneck (deren Anzahl der Seiten entspricht den Fermatschen Primzahlen
bzw.
) werden im gemeinsamen Umkreis mit einem gemeinsamen Eckpunkt übereinander gelegt, so wie dies z. B. Johannes Kepler in seinem Werk WELT-HARMONIK in der Konstruktion des Fünfzehnecks aufzeigt[1].
Als Basis für die Konstruktion kann prinzipiell eine der drei in Siebzehneck beschriebenen Methoden ausgewählt werden. Aus Gründen des sehr geringen erforderlichen Aufwands wird die Methode von Duane W. DeTemple,[2] aus dem Jahr 1991, verwendet.
Vorüberlegungen
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/01_51-Eck_Basis_17-Eck.svg/460px-01_51-Eck_Basis_17-Eck.svg.png)
In der Zeichnung des Siebzehnecks nach Duane W. DeTemple (Bild 1) ist gut erkennbar, die Mittelsenkrechte ab schneidet nicht nur den Kreisbogen
sondern auch den Umkreis. Wird dieser Schnittpunkt als
markiert, liegt er direkt neben dem Eckpunkt
Damit ergibt sich der Zentriwinkel
mit der Winkelweite
eines gleichseitigen Dreiecks, der quasi zum Zentriwinkel des Siebzehnecks
geometrisch im Uhrzeigersinn addiert ist.
Folglich gilt für
- Zentriwinkel
des Kreissektors
- Zentriwinkel
des Kreissektors
wegen
- Zentriwinkel
des 51-Ecks
gilt auch
Somit ist die Strecke eine Seitenlänge
und
ein Eckpunkt des gesuchten 51-Ecks.
Die Position des Eckpunktes des 51-Ecks ergibt sich auch aus der Anzahl der Seitenlängen
die im Zentriwinkel
enthalten sind
daraus folgt
- ausgehend von dem nicht mitgezählten Eckpunkt
entspricht der im Uhrzeigersinn 17. Eckpunkt dem Eckpunkt
der gegen den Uhrzeigersinn abgezählt ist.
Der 17. Eckpunkt des 51-Ecks liegt demnach, bezogen auf die Mittelachse , genau gegenüber dem 34. Eckpunkt.
Konstruktionsbeschreibung
Die, im Vergleich zum Original, geänderten Bezeichner im Bild 2 entsprechen denen der heute üblichen.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/51-Eck-Carlyle-Kreise.svg/640px-51-Eck-Carlyle-Kreise.svg.png)
- Zeichnen einer Geraden
(analytisch eine X-Achse) und bestimmen eines Punktes
darauf, den späteren Mittelpunkt des Polygons (analytisch ein Koordinatenursprung).
- Zeichnen eines Kreises als Umkreis (analytisch ein Einheitskreis)
um
. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte, den Eckpunkt
des Polygons und der Gegenpunkt
.
- Errichten der Senkrechten
(analytisch eine Y-Achse) auf der Gerade
in
. Es ergibt sich der Schnittpunkt
.
- Halbierung der Strecke
in
.
- Errichten der Senkrechte auf der Geraden in
. Die beiden Schnittpunkte mit
sind die Eckpunkte
und
des 51-Ecks.
- Zeichnen des Kreisbogens
um
mit dem Radius
. Der Schnittpunkt mit der Senkrechten ist
.
- Nun wird um
der erste Carlyle-Kreis
durch den Punkt
gezogen; die Schnittpunkte sind
und
.
- Die Strecke
wird halbiert. Man erhält
.
- Zeichnen eines zweiten Carlyle-Kreises
um
durch
. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte
und
(letzterer nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
- Die Strecke
wird halbiert. Man erhält
.
- Zeichnen eines dritten Carlyle-Kreises
um
durch
. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte
und
(letzterer ebenfalls nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
- Abtragen der Strecke
auf
von
aus ab. Man erhält Punkt
- Verbinden der Punkte
und
mit einer Strecke.
- Halbieren der Strecke
. Man erhält Punkt
.
- Zeichnen eines vierten Carlyle-Kreises
um
durch
. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte
und
(letzterer nicht beschriftet, da er nicht weiter benötigt wird).
- Zeichnen eines Kreisbogens um
mit dem Umkreisradius
. Die Schnittpunkte mit dem Umkreis
sind die zwei zu
benachbarten Punkte des 17-Ecks und damit die Punkte
und
des 51-Ecks.
- Durch wiederholtes Abtragen der Strecke
auf dem Umkreis
, beginnend mit
, erhält man die fehlenden Punkte eines regelmäßigen 17-Ecks. Bis hierhin entspricht die Konstruktion der des 17-Ecks.
- Durch wiederholtes Abtragen der Strecke
auf dem Umkreis
, ausgehend von den Punkten
(blau) und
(rot), erhält man alle noch fehlenden Eckpunkte des 51-Ecks, welche miteinander zum 51-Eck verbunden werden können.
Vorkommen
Architektur
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/RWE_Tower_Essen_2014.jpg/240px-RWE_Tower_Essen_2014.jpg)
Der Querschnitt des RWE-Turms in Essen ist ein regelmäßiges 51-Eck.
Literatur
- H. Maser: Die Teilung des Kreises ..., Artikel 365., in Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über höhere Arithmetik, Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen; abgerufen am 15. März 2018.