Überauflösbare Gruppe
Überauflösbare Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Es handelt sich um eine Verschärfung der Auflösbarkeit einer Gruppe.
Definition
Eine Gruppe heißt überauflösbar, falls es Normalteiler
gibt mit
,
so dass alle Faktorgruppen zyklisch sind.
Der wesentliche Unterschied zur Auflösbarkeit liegt darin, dass wir hier nicht nur fordern, dass ein Normalteiler in
ist, um die Faktorgruppen bilden zu können, sondern die stärkere Forderung stellen, dass die
sogar Normalteiler in
sind. Überauflösbarkeit ist daher ein stärkerer Begriff als Auflösbarkeit.
Beispiele
- Trivialer Weise ist jede zyklische Gruppe überauflösbar. Damit sind die Gruppen
und
überauflösbar, sowie endliche direkte Summen aus solchen.
- Endlich erzeugte nilpotente Gruppen sind überauflösbar.[1]
- Die symmetrische Gruppe S3 ist überauflösbar aber nicht nilpotent, denn
- erfüllt offenbar die Definition, aber da die Gruppe
triviales Zentrum hat, kann sie nicht nilpotent sein.
- Die unendliche Diedergruppe ist überauflösbar aber nicht nilpotent.[2]
- Die alternierende Gruppe A4 ist auflösbar aber nicht überauflösbar.
Eigenschaften
- Überauflösbare Gruppen sind auflösbar, wie zur Definition bereits bemerkt wurde.
- Überauflösbare Gruppen sind polyzyklisch.
- Überauflösbare Gruppen genügen der Maximalbedingung, das heißt jede nicht-leere Menge von Untergruppen enthält eine maximale Untergruppe. Daraus folgt, dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist. Insbesondere sind überauflösbare Gruppen stets endlich erzeugt.
- Die definierende Reihe von Normalteilern einer überauflösbaren Gruppe ist nicht eindeutig bestimmt. Durch geeignete Operationen kann man sogar zu einer Reihe
übergehen, deren Faktoren
wie folgt angeordnet sind: zunächst kommen alle zu
mit ungerader Primzahl p isomorphen Faktoren, und zwar in absteigender Reihenfolge, dann alle zu
isomorphen Faktoren und schließlich alle zu
isomorphen Faktoren.[3]
- Ist
überauflösbar, so ist die Fitting-Untergruppe
nilpotent und die Faktorgruppe
ist endlich und abelsch.[4]
Vererbungseigenschaften
- Untergruppen und homomorphe Bilder überauflösbarer Gruppen sind wieder überauflösbar.[5]
- Die Umkehrung gilt nicht, die Klasse der überauflösbaren Gruppen ist nicht gegenüber Erweiterungen abgeschlossen. Die alternierende Gruppe
enthält einen zur Kleinschen Vierergruppe isomorphen Normalteiler
. Dann sind
und
überauflösbar,
selbst ist aber nicht überauflösbar.
- Bestimmte Erweiterungen allerdings sind überauflösbar: Ist
eine Gruppe mit einem zyklischen Normalteiler
, so dass
überauflösbar ist, so ist
überauflösbar.[6]
- Endliche direkte Summen überauflösbarer Gruppen sind wieder überauflösbar.[7]
- Unendliche direkte Summen sind in der Regel nicht überauflösbar. So ist
nicht überauflösbar, denn diese Gruppe genügt nicht der Maximalbedingung.
Endliche Gruppen
Für endliche Gruppen bestehen einige äquivalente Charakterisierungen, für die folgende Begriffe benötigt werden. bezeichne die Frattinigruppe der Gruppe
. Unter einer maximalen Kette in
versteht man eine Kette
von Untergruppen, so dass jedes
maximale Untergruppe in
ist für
, die Zahl n heißt die Länge dieser Kette.
Für eine endliche Gruppe sind äquivalent:
ist überauflösbar.
- (B. Huppert) Jede maximale Untergruppe hat eine Primzahl als Index.[8]
ist überauflösbar.[9]
- (K. Iwasawa) Je zwei maximale Ketten in
haben dieselbe Länge.[10]
Für endliche Gruppen gelten die Implikationen
- zyklisch
abelsch
nilpotent
überauflösbar
auflösbar.
Das obige Beispiel zeigt, dass für unendliche Gruppen aus abelsch nicht notwendig überauflösbar folgt.