En tapetgruppe (eller plansymmetrisk eller plankrystallografiskgruppe) er en matematisksymmetrigruppe, som kan beskrives som en klassifikation af to-dimensionelle gentagne mønstre. Sådanne mønstre forekommer hyppigt inden for arkitektur og dekorativ kunst, specielt i tekstiler, fliser og tapet.
Antallet af symmetrisæt afhænger af mønstrets dimension. Tapetgrupper bruges i det todimensionelle tilfælde, og de lægger sig dermed mellem de endimensionelle frisegrupper og de tredimensionelle rumgrupper.
Det var den russiske matematiker Evgraf Fedorov, der som den første i 1891 beviste, at der er netop 17 tapetgrupper,[1] idet hans ungarske kollega George Pólya i 1924 uafhængigt af Fedorov nåede samme resultat.[2] For Fedorov og hans kolleger kom beviset for de 17 tapetgrupper som del af arbejdet med at bevise, at der var netop 230 rumgrupper, hvilket Fedorov og den tyske matematiker Schönflies begge fandt frem til i 1892.[3]
Eksempel A og B hører til samme tapetgruppe, kaldet p4m i IUC notation og *442 i orbifold notation. Eksempel C hører til en anden tapetgruppe, kaldet hhv p4g og 4*2 . Når A og B tilhører samme tapetgruppe, betyder det, at begge har det samme sæt af symmetrier, uanset hvordan deres mønstre ellers er udformet, mens C har et afvigende symmetrisæt, på trods af eventuelle ligheder i mønstrene. Nogle gange hører næsten ens mønstre til hver sin gruppe, mens mønstre, der er meget forskellige mht stilart, farve, skala og orientering, godt kan høre til samme gruppe.
At et mønster er symmetrisk vil groft sagt sige, at mønstret kan ændres på en måde, så det ser ud på præcis samme måde efter ændringen. For tapetgrupper gælder disse symmetrier, kaldet euklidiske planisometrier:
Hvis vi forskyder eksempel B en enhed mod højre, så at hvert kvadrat nu dækker det der tidligere var nabo-kvadratet, får vi et mønster, som er identisk med udgangsmønstret. Sådanne forskydninger kan også anvendes på eksempel A og C, både op og ned, til siden og diagonalt. Tapetgrupper har således forskydning i flere retninger, hvor frisegrupper kun har i én.
Hvis vi drejer eksempel B 90° med uret, fx omkring centrum af et af kvadraterne, får vi igen præcis det samme mønster, ved en såkaldt rotation. Eksempel A og C har også 90°-rotationer, selv om det kræver lidt skarpsindighed at finde det rette rotationscentrum for C.
Hvis vi spejler eksempel B langs en vandret akse midt gennem billedet, får vi igen præcis det samme mønster, og dette kaldes spejling. Eksempel B kan desuden spejles både langs en lodret akse og to diagonale akser. Det samme gælder eksempel A.
Glidespejling kan sammenlignes med at gå eller løbe: hvert nyt trin er forskudt i forhold til det forrige, og desuden spejlvendt.
Men eksempel C er anderledes, for det kan kun spejles i vandret og lodret retning, ikke diagonalt. Hvis vi spejler diagonalt, får vi det samme mønster, men forskudt et stykke til siden, og derfor tilhører C en anden tapetgruppe end A og B.
Endelig kan mønstre ændres ved glidespejling, se figur, som er en kombination af spejling og forskydning.
I IUC notation (eller Hermann-Mauguin notation) begynder tapetgruppers navne enten med p eller c, for hhv primitiv eller centreret. I de primitive grupper gentages enhedscellen ved forskydning, hvilket ses hos 15 ud af de 17 grupper. De to øvrige grupper viser centrerede celler, der er større end den primitive celle, hvorved fås intern gentagelse. De centrerede cellesider vender ikke samme vej som den primitive celles forskydningsretning.
Herefter følger et ciffer n, som viser den højeste rotationsorden, enten 1 (dvs rotation 0°), 2 (180°), 3 (120°), 4 (90°) eller 6 (60°), idet gradtallet kan skrives som 360°/n. De næste to tegn angiver symmetrier i forhold til gruppens hovedforskydningsakse; er der en spejlingsakse vinkelret på forskydningsaksen, bliver denne forskydningsakse hovedforskydningsaksen (eller hvis der er to, én af dem). Tegnene er enten m, g eller 1, for hhv spejling (mirror), glidespejling, eller ingen. Spejlings- eller glidespejlingsaksen står vinkelret på hovedaksen for første tegn, og er enten parallel med eller drejet 180°/n (hvor n > 2) for andet tegn. I mange grupper følger der yderligere symmetrier af de eksplicit angivne, og i kort notation udelader man derfor et ciffer eller et m, som på denne måde giver sig selv, så længe gruppen ikke kan forveksles med en anden.
Eksempler
p2: Primitiv celle, 2. ordens rotation, hverken spejlinger eller glidespejlinger
Til hver gruppe i nedenstående afsnit hører to diagrammer for cellestruktur, med disse signaturer for forskellige slags symmetrier (idet det er signaturens form og ikke farve, der er afgørende):
andenordens rotationscenter (180°)
tredjeordens rotationscenter (120°)
fjerdeordens rotationscenter (90°)
sjetteordens rotationscenter (60°)
spejlingsakse
glidespejlingsakse
På diagrammer til venstre viser gule områder enhedscellen, dvs. den grundlæggende del af mønstret der gentages.
På diagrammer til højre er forskellige slags symmetrier vist med forskellig farve, på et mønster bestående af flere enhedsceller.
En udgave af såkaldt snub square-mønster; glidespejlingsaksen vender nordøst-sydvest
Uden detaljer i zigzag-båndene er måtten pmg; med detaljer, men uden skelnen mellem brun og sort er den pgg.
Ser man bort fra stenenes bølgede omrids, er belægningen pgg.
Ser man bort fra farverne i snub square-mønstret, er der meget mere symmetri end blot pg, for så er det p4g (Hvis man betragter kvadraterne som baggrund, ses et simpelt mønster med rhomber på række).
Gruppe pmg har to andenordens rotationer (180°) og én spejlingsakse, men dertil glidespejling med akse vinkelret på spejlingsaksen; rotationscentre ligger på glidespejlingsakser.
Gruppe pgg har to andenordens rotationer (180°), ingen spejlinger, men to glidespejlinger vinkelret på hinanden; rotationscentre ligger ikke på glidespejlingsakser.
Gruppe cmm har to vinkelrette spejlingsakser, samt én andenordens rotation (180°) med centrum uden for spejlingsakserne (de grønne rhomber på strukturdiagrammer) og to rotationer med centrum på spejlingsakserne (blå og røde rhomber på diagrammerne).
Gruppe p4m har to fjerdeordens rotationer (90°) og en andenordens rotation (180°), fire spejlingsakser (vandret, lodret og to diagonale) og endelig to glidespejlinger uden for spejlingsakser. Andenordens rotationscentre falder sammen med hvor glidespejlingsakser krydser hinanden. Alle rotationscentre ligger på spejlingsakser.
Dette giver et overskueligt mønster af meget symmetriske kvadrater i rækker og kolonner.
Eksempler på gruppe p4m
Eksempler med mindste forskydning vandret eller lodret (som i diagrammet):
Gruppe p4g har to vinkelrette spejlingsakser og én fjerdeordens rotation (90°), hvis rotationscentrum ligger uden for spejlingsakserne; samt en andenordens rotation (180°) med centrum på spejlingsakser; og endelig fire glidespejlingsakser, to parallelle med spejlingsakser og to diagonale.
p4g kan opfattes som et ternet mønster bestående af fliser med fjerdeordens rotationssymmetri, og disses spejlbilleder; eller, hvis man rykker en halv flise, som et ternet mønster af vandret og lodret symmetriske fliser, som skiftevis er roteret 90°. Et almindeligt skakbrædtmønster hører dog ikke hjemme her, men i gruppe p4m.
Gruppe p3 har tre tredjeordens rotationer (120°), men hverken spejlinger eller glidespejlinger.
Forestiller man sig et plant mønster (en tessellation) af ligesidede trekanter med samme størrelse, vil halvdelen af trekanterne vende den ene vej, og halvdelen vende modsat. For gruppe p3 er alle trekanter den ene vej ens, mens dem der vender modsat er anderledes. De to slags trekanter har hver især tredjeordens rotationer, men er ikke hinandens spejlbilleder, ejheller symmetriske. (Var trekanterne ens i begge retninger, ville vi have p6, var de hinandens spejlbilleder, ville det være p31m, og hvis de var symmetriske, ville det være p3m1; hvis to af de tre betingelser var opfyldt, ville den tredje også være det, og vi ville have p6m.)
Eksempler på gruppe p3
Computergenereret
En af de 8 semi-regulære tessellationer (er p6, hvis man ser bort fra farverne)
Eksempel og diagram for p3m1Cellestruktur for p3m1
Orbifold notation: *333
Coxeter notation: [(3,3,3)] eller [3[3]]
Gitter: heksagonal
Punktgruppe: D3
Gruppe p3m1 har tre tredjeordens rotationer (120°) og tre spejlingsakser, med rotationscentre liggende på spejlingsakser; desuden tre glidespejlingsakser, som ligger midt mellem spejlingsakser.
Forestiller man sig, som beskrevet under p3, et plant mønster med trekanter i modsatte retninger, vil denne gruppe svare til, de to slags trekanter ikke var ens, ikke var hinandens spejlbilleder, men blot symmetriske.
Eksempler på gruppe p3m1
En af de 3 regulære tessellationer (er p6m, hvis man ser bort fra farverne)
Endnu en regulær tessellation (er p6m, hvis man ser bort fra farverne)
En af de 8 semi-regulære tessellationer (er p6m, hvis man ser bort fra farverne)
Persiske fliser (er p6m, hvis man ser bort fra farverne)
Eksempel og diagram for p31mCellestruktur for p31m
Orbifold notation: 3*3
Coxeter notation: [6,3+]
Gitter: heksagonal
Punktgruppe: D3
Gruppe p31m har tre tredjeordens rotationer (120°) (af hvilke de to er hinandens spejlbilleder) og tre spejlingsakser. Mindst ét rotationscentrum ligger ikke på en spejlingsakse. Der er desuden tre glidespejlingsakser, beliggende midt mellem spejlingsakser.
Forestiller man sig, som beskrevet under p3 og p3m1, et plant mønster med trekanter i modsatte retninger, vil denne gruppe svare til, de to slags trekanter ikke var ens, ikke var symmetriske, men blot var hinandens spejlbilleder.
Gruppe p6 har en sjetteordens rotation (60°), to tredjeordens rotationer (120°) og tre andenordens rotationer (180°), men hverken spejlinger eller glidespejlinger.
Dette mønster kan både betragtes som opbygget af ens trekanter og ens sekskanter.
Gruppe p6 har en sjetteordens rotation (60°), to tredjeordens rotationer (120°) og tre andenordens rotationer (180°), foruden seks spejlingsakser og seks glidespejlingsakser, de sidste midtvejs mellem spejlingsakser.
Dette mønster kan både betragtes som opbygget af ens trekanter og ens sekskanter.
Eksempler på gruppe p6m
Computergenereret
En af de 8 semi-regulære tessellationer
En anden semi-regulær tessellation
En tredje semi-regulær tessellation
Persisk flise
Kongedragt fra Khorsabad i Assyrien; dette er næsten p6m (bortset fra blomsternes indre, som gør det til cmm)
I det gamle Ægyptens kunst har man fundet tolv af de sytten tapetgrupper; de fem manglende grupper er dem med tredieordens og sjetteordens rotationer.[5]Alhambras udsmykninger regnes som højdepunktet af brugen af ornamentik inden for islamisk kunst. Man er ikke enige om, hvorvidt alle sytten tapetgrupper er at finde i Alhambra: nogle mener nej,[6][7] mens andre mener jo.[8][9]
Muligvis med undtagelse af grupperne pm, p3 og pg har man i kinesisk kunst fundet alle sytten grupper.[10]
Owen Jones (1856): The Grammar of Ornament (1856); mange af eksemplerne under de enkelte grupper er fra denne bog - den indeholder mange flere.
John H. Conway (1992): The Orbifold Notation for Surface Groups. I: M. W. Liebeck og J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447
John H. Conway, Heidi Burgiel og Chaim Goodman-Strauss (2008): The Symmetries of Things. Worcester MA: A.K. Peters. ISBN1-56881-220-5.
Branko Grünbaum og G. C. Shephard (1987): Tilings and Patterns. New York: Freeman. ISBN0-7167-1193-1.
Pattern Design, Lewis F. Day
Michael Klemm: Symmetrien von Ornamenten und Kristallen. Springer, Berlin u. a. 1982, ISBN3-540-11644-3.
Klaus Lamotke: Die Symmetriegruppen der ebenen Ornamente. In: Mathematische Semesterberichte. Bd. 52, nr. 2, august 2005, s. 153–174, doi:10.1007/s00591-005-0092-y.