Vlnky Daubechies

Koeficienty škálovací funkce (dolní propusti ${\displaystyle H_{0}}$ při použití ortogonální banky filtrů) musejí splňovat následující podmínky.

Normalizace:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}h_{0}[n]={\sqrt {2}}}$ nebo ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}h_{0}[n]=2}$ (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ )

z čehož plyne

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}(h_{0}[n])^{2}=1}$ nebo ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}(h_{0}[n])^{2}=2}$ (pak je třeba výsledné koeficienty podělit hodnotou ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ )

Ortogonalita:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}h_{0}[n]h_{0}[n-2k]=0}$ pro ${\displaystyle k\not =0}$

Nulovost momentů (uhlazenost, podmínka dolní propusti, regulárnosti):^[1]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}h_{0}[n]n^{m}=0}$ pro ${\displaystyle 0\leq m<N/2}$

Existuje více řešení (je ovšem třeba odlišit dolní propust od horní).

Vlnky se označují jako Dx, kde x je buď počet koeficientů (${\displaystyle N}$ ) nebo počet nulových momentů (${\displaystyle p}$ ), tedy např. D8 může být vlnka s 8 koeficienty (a čtyřmi nulovými momenty).

Výpočet vlnky se 4 koeficienty (označované jako D4) v MATLABu (místo ${\displaystyle h_{0}}$ je použito pouze značení ${\displaystyle h}$ ):

t = solve('h0*h0 + h1*h1 + h2*h2 + h3*h3 = 1', % normalizace'h2*h0 + h3*h1 = 0', % ortogonalita'+(0^0)*h0 -(1^0)*h1 +(2^0)*h2 -(3^0)*h3 = 0', % nulovost nultého'+(0^1)*h0 -(1^1)*h1 +(2^1)*h2 -(3^1)*h3 = 0' % a prvního momentu (podmínky uhlazenosti));r=length(t.h0); % počet řešenís=[1:r]; eval( [t.h0(s) t.h1(s) t.h2(s) t.h3(s)] ) % zobrazit řešení

Řešení (pouze dolní propusti):

• vlnková transformace
• kvadraturně zrcadlový filtr
• Haarova vlnka – Daubechiesové vlnka s jedním nulovým momentem
• coiflety
• symlety – rodina více symetrických vlnek se stejnými vlastnosti jako mají Daubechiesové vlnky

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Vlnky Daubechies na Wikimedia Commons

• DAUBECHIES, Ingrid. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, Pennsylvania: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. xix, 357 s. (CBMS-NSF regional conference series in applied mathematics; sv. 61). Dostupné online. ISBN 0898712742. (anglicky)