Steinerův systém
Steinerův systém , , podle matematika Jakoba Steinera, je konečná kombinatorická struktura - systém prvkových podmnožin základní prvkové množiny (tzv. bloků) s vlastností, že každých bodů leží společně v právě jednom bloku. Steinerovy systémy zobecňují konečné geometrie, které odpovídají : v geometrii každé dva body určují právě jednu přímku.
Existence Steinerových systémů
Základním matematickým problémem Steinerových systémů je, zda pro daná vůbec
existuje. Tento problém je až na výjimky otevřený; výjimky určuje několik známých konstrukcí
a naopak několik podmínek, které pro jiná
existenci vylučují.
Pro známe (nebo dovedeme prokázat existenci) jen konečně mnoho Steinerových systémů; pro
žádný.
Nutná podmínka dělitelnosti
Utržením jednoho bodu ze Steinerova systému získáme po odstranění bloků, v nichž tento bod neležel, tzv. derivovaný systém
Derivovaný systém také musí splňovat axiomy Steinerova systému, jeho derivovaný systém také atd. Z toho plyne soustava nutných podmínek pro existenci
:
musí být celočíselné pro každé
[1]
Zlomek vyjadřuje počet bloků, v nichž leží každá tice bodů.
Splnění této sady podmínek však stále není postačující pro existenci ; již vyvráceny byly například existence
,
či
Dosud známé nekonečné třídy Steinerových systémů[2]
pro
mocnina prvočísla a
(afinní geometrie)
pro
mocnina prvočísla a
(sférické geometrie)
pro
mocnina prvočísla a
(projektivní geometrie)
pro
mocnina prvočísla
pro
(Dennistonův design)
Steinerovy systémy v teorii grup
Speciální Steinerovy systémy jsou jednou z ekvivalentních možností jak definovat vysoce tranzitivní Mathieu grupy:
transitivní Mathieu grupa
je grupou automorfismů Steinerova systému
transitivní Mathieu grupa
je grupou automorfismů Steinerova systému
transitivní Mathieu grupa
je grupou automorfismů Steinerova systému
transitivní Mathieu grupa
je grupou automorfismů Steinerova systému
transitivní Mathieu grupa
je grupou automorfismů Steinerova systému
Reference
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu Steinerův systém na Wikimedia Commons