Jedničková matice
Jedničková matice a jedničkový vektor mají všechny prvky rovny jedné. Nesmějí se zaměňovat s jednotkovou maticí a jednotkovými vektory.
Definice a značení
Jedničková matice nad okruhem s neutrálním prvkem
je
.
Jedničková matice obsahující pouze z jeden sloupec se nazývá jedničkový vektor. Je-li zřejmé, že jde o čtvercovou matici řádu , lze psát jen
, případně indexy zcela vynechat, jsou-li zřejmé nebo nepodstatné. Vzhledem k tomu, že jde o dobře definovanou matematickou konstantu bývá značena neskloněným písmem. Jednotkové matice mohou být značeny
a podobně.
Ukázky
Vlastnosti
Algebraické vlastnosti
Jedničková matice může být také reprezentována součinem jedničkových vektorů:
Transponovaná matice k jedničkové matice je opět jedničková matice, neboli:
Jedničková matice je neutrálním prvkem v maticovém okruhu
, přičemž
je součet matic a
je Hadamardův součin. Pro všechny matice
platí:
.
Hodnost, determinant, stopa
Jedničkové matice nad tělesem
mají následující vlastnosti:
Hodnost matice je rovna jedné
.
Determinant čtvercové jedničkové matice je
Stopa reálné nebo komplexní čtvercové matice je
.
Vlastní čísla a vlastní vektory
Charakteristický polynom reálné nebo komplexní jedničkové matice je
.
Vlastní čísla jsou
a
.
Příslušné vlastní vektory jsou
a
.
Minimální polynom je
.
Součiny
Součin dvou reálných nebo komplexních jedničkových matic je
.
Výpočet -té mocniny čtvercové jedničkové matice pro
je dán vztahem
.
Matice je proto idempotentní, neboli
.
Exponenciála jedničkové matice je
,
Reálná i komplexní čtvercová matice je pozitivně semidefinitní.
Aplikace
Jedničková matice se používá v kombinatorice, zvláště v algebraické teorii grafů. Například, je-li matice sousednosti neorientovaného grafu
na
vrcholech a
je jedničková matice řádu
, pak
je regulární, právě když
.
Programování
V numerickém softwarovém balíku MATLAB je jedničková matice generována funkcí ones(m,n)
.[1]
Odkazy
Reference
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Einsmatrix na německé Wikipedii a Matrix of ones na anglické Wikipedii.
Literatura
- BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
- HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
- OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.