Galoisova grupa
Galoisova grupa je pojem z algebry. Je to grupa definována pro těleso a jeho konečné rozšíření. Studium rozšíření těles pomocí Galoisovy grupy souvisí s Galoisovou teorií, která vznikla jako nástroj pro popis řešení polynomiálních rovnic. Historicky stál u zrodu této teorie Évariste Galois, který je považován za zakladatele teorie grup.
Definice
Nechť je rozšíření tělesa
(zapisuje se jako
). Automorfizmus
je takový automorfizmus
tělesa
, který zachovává všechny prvky
, tj.
pro každé
. Množina všech automorfizmů
spolu s operací skládání tvoří grupu, která se nazývá Galoisova grupa. Značí se
, anebo
.
Příklady
obsahuje dva prvky: identitu a komplexní sdružení.
- Nechť
je těleso racionálních čísel a
. Pak
obsahuje identitu a zobrazení
.
- Nechť
je prvočíslo a
je Galoisovo těleso o
prvcích,
jeho nejmenší podtěleso. Pak
je cyklická grupa řádu
.
- Nechť
je ireducibilní polynom s racionálními koeficienty stupně
,
jeho rozkladové těleso a nechť
má v
právě dva nereálné kořeny. Pak
(někdy se také nazývá Galoisova grupa polynomu
) je izomorfní symetrické grupě
. Její prvky permutují kořeny polynomu
.
Vlastnosti
Fundamentální věta Galoisovy teorie tvrdí, že podgrupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům .[1] Tato korespondence přiřadí podgrupě
podtěleso
, které je fixováno touto podgrupou.
V případě nekonečného rozšíření uvažujeme v této korespondenci pouze uzavřené podgrupy vůči tzv. Krollově topologii.
Galoisovy grupy se začaly zkoumat v souvislosti se snahou řešit polynomiální rovnice vyššího stupně pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocnin racionálních čísel a koeficientů daného polynomu. Takové řešení existuje právě když Galoisova grupa polynomu je řešitelná.