Definice a značení Frobeniův skalární součin dvou reálných, ne nutně čtvercových , matic A ∈ R m × n {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}} a B ∈ R m × n {\displaystyle {\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}} je definován výrazem:
⟨ A , B ⟩ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j b i j {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}} Jinými slovy, Frobeniův skalární součin získáme ze součinů odpovídajících složek obou daných matic a následným součtem všech těchto dílčích součinů. Odpovídá standardnímu skalárnímu součinu , pokud matice chápeme jako vektory dimenze m n {\displaystyle mn} . Frobeniův skalární součin dvou jednosloupcových matic jmenovitě odpovídá standardnímu skalárnímu součinu dvou vektorů.
Frobeniův skalární součin dvou komplexních matic A ∈ C m × n {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}} a B ∈ C m × n {\displaystyle {\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}} je dán výrazem:
⟨ A , B ⟩ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j b i j ¯ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overline {b_{ij}}}} Pruh značí komplexně sdružené číslo.
Lze se setkat i s definicí používající komplexně sdružená čísla pro prvky první matice, čili
⟨ A , B ⟩ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j ¯ b i j {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\overline {a_{ij}}}b_{ij}} ovšem takto definovaný součin není lineární vůči skalárním násobkům v první složce, ale ve druhé.
Ve fyzice se Frobeniův skalární součin dvou matic A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} a B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} někdy zapisuje A : B {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\,\colon \,{\boldsymbol {B}}} .
Vztak k Hadamardovu součinu Jsou-li A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} a B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} reálné matice, pak je Frobeniův skalární součin součtem prvků Hadamardova součinu .
Jsou-li matice vektorizovány (tj. převedeny na sloupcové vektory, označené " vec {\displaystyle \operatorname {vec} } "), pak pro
vec A = ( a 11 a 12 ⋮ a 21 a 22 ⋮ a n m ) {\displaystyle \operatorname {vec} {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{12}\\\vdots \\a_{21}\\a_{22}\\\vdots \\a_{nm}\end{pmatrix}}} a vec B = ( b 11 b 12 ⋮ b 21 b 22 ⋮ b n m ) {\displaystyle \operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}b_{11}\\b_{12}\\\vdots \\b_{21}\\b_{22}\\\vdots \\b_{nm}\end{pmatrix}}} platí ( vec A ) T vec B ¯ = ( a 11 , a 12 , … , a 21 , a 22 , … , a n m ) ( b 11 ¯ b 12 ¯ ⋮ b 21 ¯ b 22 ¯ ⋮ b n m ¯ ) {\displaystyle (\operatorname {vec} {\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }{\overline {\operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}}}=(a_{11},a_{12},\ldots ,a_{21},a_{22},\ldots ,a_{nm}){\begin{pmatrix}{\overline {b_{11}}}\\{\overline {b_{12}}}\\\ \vdots \\{\overline {b_{21}}}\\{\overline {b_{22}}}\\\vdots \\{\overline {b_{nm}}}\end{pmatrix}}} Odtud plyne přímo ⟨ A , B ⟩ F = ( vec A ) T vec B ¯ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=(\operatorname {vec} {\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }{\overline {\operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}}}} .
Frobeniova norma Frobeniova norma je norma přidružená k Frobeniovu skalárnímu součinu, neboli:
‖ A ‖ F = ⟨ A , A ⟩ F {\displaystyle \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }}}}
Ukázky
Reálné matice Frobeniův skalární součin dvou reálných matic typu 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3}
A = ( 2 0 6 1 − 1 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}} a B = ( 8 − 3 2 4 1 − 5 ) {\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}} je roven
⟨ A , B ⟩ F = 2 ⋅ 8 + 0 ⋅ ( − 3 ) + 6 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 + ( − 1 ) ⋅ 1 + 2 ⋅ ( − 5 ) = 21 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21\end{aligned}}}
Komplexní matice Pro dvě čtvercové komplexní matice řádu 2 {\displaystyle 2}
A = ( 1 + i − 2 i 3 − 5 ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1+\mathrm {i} &-2\mathrm {i} \\3&-5\end{pmatrix}}} a B = ( − 2 3 i 4 − 3 i 6 ) {\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}-2&3\mathrm {i} \\4-3\mathrm {i} &6\end{pmatrix}}} platí
⟨ A , B ⟩ F = ( 1 + i ) ⋅ ( − 2 ) + ( − 2 i ) ⋅ ( − 3 i ) + 3 ⋅ ( 4 + 3 i ) + ( − 5 ) ⋅ 6 = − 26 + 7 i {\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(1+\mathrm {i} )\cdot (-2)+(-2\mathrm {i} )\cdot (-3\mathrm {i} )+3\cdot (4+3\mathrm {i} )+(-5)\cdot 6\\&=-26+7\mathrm {i} \end{aligned}}} zatímco
⟨ B , A ⟩ F = ( − 2 ) ⋅ ( 1 − i ) + 3 i ⋅ 2 i + ( 4 − 3 i ) ⋅ 3 + 6 ⋅ ( − 5 ) = − 26 − 7 i {\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1-\mathrm {i} )+3\mathrm {i} \cdot 2\mathrm {i} +(4-3\mathrm {i} )\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26-7\mathrm {i} \end{aligned}}} Frobeniův skalární součin matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} se sebou samou a součin B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} se sebou samou jsou
⟨ A , A ⟩ F = 2 + 4 + 9 + 25 = 40 {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40} a ⟨ B , B ⟩ F = 4 + 9 + 25 + 36 = 74 {\displaystyle \langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74} .
Vlastnosti Komplexní Frobeniův skalární součin je seskvilineární forma , neboli lineární v prvním argumentu:
⟨ A + B , C ⟩ F = ⟨ A , C ⟩ F + ⟨ B , C ⟩ F {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }+\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }} a ⟨ c A , B ⟩ F = c ⟨ A , B ⟩ F {\displaystyle \langle c{\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=c\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }} a také semilineární v druhém argumentu, tedy.
⟨ A , B + C ⟩ F = ⟨ A , B ⟩ F + ⟨ A , C ⟩ F {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}+{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }+\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }} a ⟨ A , c B ⟩ F = c ¯ ⟨ A , B ⟩ F {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},c{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }={\overline {c}}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }} .Dále je hermitovská forma, neboli
⟨ A , B ⟩ F = ⟨ B , A ⟩ F ¯ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }}}} ,a také pozitivně definitní :
⟨ A , A ⟩ F ≥ 0 {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }\geq 0} a ⟨ A , A ⟩ F = 0 ⇔ A = 0 {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }=0\Leftrightarrow {\boldsymbol {A}}=0} .Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z komutativních a distributivních zákonů sčítání a násobení a z pozitivní definitnosti komplexní absolutní hodnoty | z | 2 = z ¯ z {\displaystyle |z|^{2}={\bar {z}}z} .
Z komplexního případu bezprostředně plyne reálný případ, protože na R {\displaystyle \mathbb {R} } se každé číslo shoduje se svým komplexně sdruženým protějškem.
Reprezentace pomocí stopy Reálný Frobeniův skalární součin má následující reprezentaci pomocí stopy matice
⟨ A , B ⟩ F = tr ( A T B ) = tr ( B A T ) {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })} ,kde A T {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }} je matice transponovaná k A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} . Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin vztah:
⟨ A , B ⟩ F = tr ( A H B ) = tr ( B A H ) {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })} ,kde A H {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }} je hermitovská transpozice matice A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} .
Přesun mezi argumenty Reálný Frobeniův skalární součin má následující vlastnost pro všechny A ∈ R l × m , B ∈ R m × n {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{l\times m},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}} a C ∈ R l × n {\displaystyle {\boldsymbol {C}}\in \mathbb {R} ^{l\times n}} :
⟨ A B , C ⟩ F = tr ( C ( A B ) T ) = tr ( C B T A T ) = ⟨ A , C B T ⟩ F = ⟨ B , A T C ⟩ F {\displaystyle \langle {\boldsymbol {AB}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {AB}})^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {CB}}^{\mathrm {T} }\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }} .Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin pro všechny A ∈ C l × m , B ∈ C m × n {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{l\times m},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}} a C ∈ C l × n {\displaystyle {\boldsymbol {C}}\in \mathbb {C} ^{l\times n}} :
⟨ A B , C ⟩ F = ⟨ A , C B H ⟩ F = ⟨ B , A H C ⟩ F {\displaystyle \langle {\boldsymbol {AB}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {CB}}^{\mathrm {H} }\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }} .Obě vlastnosti vyplývají ze zachování stopy vzhledem k cyklickým permutacím součinu matic.
Invariance Vzhledem ke stopové reprezentaci a vlastnosti posunutí platí následující pro reálný Frobeniův skalární součin dvou matic A , B ∈ R m × n {\displaystyle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}
⟨ A , B ⟩ F = ⟨ A T , B T ⟩ F {\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} },{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }\rangle _{\mathrm {F} }} .Pro komplexní Frobeniův skalární součin dvou matic A , B ∈ C m × n {\displaystyle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}} platí obdobně následující.
⟨ A , B ⟩ F ¯ = ⟨ A H , B H ⟩ F {\displaystyle {\overline {\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }}}=\langle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} },{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\rangle _{\mathrm {F} }} .
Vlastnosti Frobeniovy normy Frobeniova norma je invariantní při unitárních transformacích a platí pro ni Cauchyho-Schwarzova nerovnost .
| ⟨ A , B ⟩ F | ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F {\displaystyle |\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }|\leq \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }\,\|{\boldsymbol {B}}\|_{\mathrm {F} }} .Z nerovnosti vyplývá odhad
| ⟨ A , B ⟩ F | 2 ≤ tr ( A H A ) ⋅ tr ( B H B ) {\displaystyle |\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }|^{2}\leq \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}})\cdot \operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {B}})} .V případě reálných matic je hermitovská transpozice nahrazena prostou transpozicí.
Odhad přes singulární hodnoty Jsou-li σ 1 ( A ) , … , σ r ( A ) {\displaystyle \sigma _{1}({\boldsymbol {A}}),\ldots ,\sigma _{r}({\boldsymbol {A}})} singulární hodnoty A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} a σ 1 ( B ) , … , σ r ( B ) {\displaystyle \sigma _{1}({\boldsymbol {B}}),\ldots ,\sigma _{r}({\boldsymbol {B}})} singulární hodnoty B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} s r = min { m , n } {\displaystyle r=\min\{m,n\}} , pak pro Frobeniův skalární součin platí odhad
| ⟨ A , B ⟩ F | ≤ ∑ i = 1 r σ i ( A ) σ i ( B ) ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F {\displaystyle |\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }|\leq \sum _{i=1}^{r}\sigma _{i}({\boldsymbol {A}})\sigma _{i}({\boldsymbol {B}})\leq \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }\,\|{\boldsymbol {B}}\|_{\mathrm {F} }} ,Uvedený odhad zesiluje Cauchyho-Schwarzovu nerovnost .[1]
Odkazy