Enters i mitjos enters Per a arguments enters positius, la funció gamma coincideix amb el factorial . Això és,
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! , {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!,} i per tant
Γ ( 1 ) = 1 , Γ ( 2 ) = 1 , Γ ( 3 ) = 2 , Γ ( 4 ) = 6 , Γ ( 5 ) = 24 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=1,\\\Gamma (2)&=1,\\\Gamma (3)&=2,\\\Gamma (4)&=6,\\\Gamma (5)&=24,\end{aligned}}} etcètera.
Per a nombres enters no positius , la funció gamma no està definida.
Per als mig enters positius, els valors de la funció es donen exactament per
Γ ( n 2 ) = π ( n − 2 ) ! ! 2 n − 1 2 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(n-2)!!}{2^{\frac {n-1}{2}}}}\,} o equivalent, per a valors enters no negatius de n :
Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = ( 2 n ) ! 4 n n ! π Γ ( 1 2 − n ) = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\end{aligned}}} on n !! denota el doble factorial . En particular,
Γ ( 1 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\,} = π {\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,} ≈ 1.772 453 850 905 516 0273 {\displaystyle \approx 1.772\,453\,850\,905\,516\,0273\,} (successió A002161 a l'OEIS ) Γ ( 3 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)\,} = 1 2 π {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\,} ≈ 0.886 226 925 452 758 0137 {\displaystyle \approx 0.886\,226\,925\,452\,758\,0137\,} (successió A019704 a l'OEIS ) Γ ( 5 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)\,} = 3 4 π {\displaystyle ={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}\,} ≈ 1.329 340 388 179 137 0205 {\displaystyle \approx 1.329\,340\,388\,179\,137\,0205\,} (successió A245884 a l'OEIS ) Γ ( 7 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)\,} = 15 8 π {\displaystyle ={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}\,} ≈ 3.323 350 970 447 842 5512 {\displaystyle \approx 3.323\,350\,970\,447\,842\,5512\,} (successió A245885 a l'OEIS )
i mitjançant la fórmula de reflexió ,
Γ ( − 1 2 ) {\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\,} = − 2 π {\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,} ≈ − 3.544 907 701 811 032 0546 {\displaystyle \approx -3.544\,907\,701\,811\,032\,0546\,} (successió A019707 a l'OEIS ) Γ ( − 3 2 ) {\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)\,} = 4 3 π {\displaystyle ={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}\,} ≈ 2.363 271 801 207 354 7031 {\displaystyle \approx 2.363\,271\,801\,207\,354\,7031\,} (successió A245886 a l'OEIS ) Γ ( − 5 2 ) {\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {5}{2}}\right)\,} = − 8 15 π {\displaystyle =-{\tfrac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\,} ≈ − 0.945 308 720 482 941 8812 {\displaystyle \approx -0.945\,308\,720\,482\,941\,8812\,} (successió A245887 a l'OEIS )
Argument racional general En analogia amb la fórmula de mig enter,
Γ ( n + 1 3 ) = Γ ( 1 3 ) ( 3 n − 2 ) ! ! ! 3 n Γ ( n + 1 4 ) = Γ ( 1 4 ) ( 4 n − 3 ) ! ! ! ! 4 n Γ ( n + 1 p ) = Γ ( 1 p ) ( p n − ( p − 1 ) ) ! ( p ) p n {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{p}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{p}}\right){\frac {{\big (}pn-(p-1){\big )}!^{(p)}}{p^{n}}}\end{aligned}}} on n !(p ) denota el p -èsim multifactorial de n . Numèricament,
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337} (successió A073005 a l'OEIS ) Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\approx 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119} (successió A068466 a l'OEIS ) Γ ( 1 5 ) ≈ 4.590 843 711 998 803 0532 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\approx 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532} (successió A175380 a l'OEIS ) Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\approx 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043} (successió A175379 a l'OEIS ) Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\approx 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377} (successió A220086 a l'OEIS ) Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\approx 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047} (successió A203142 a l'OEIS ).Es desconeix si aquestes constants són transcendents en general, però Γ(1 / 3 ) i Γ(1 / 4 ) van ser transcendents per G. V. Chudnovsky.Des de fa temps, se sap que Γ(1 / 4 ) / 4 √π és transcendent, i Yuri Nesterenko va demostrar el 1996 que Γ(1 / 4 ) , π , i e π són algebraicament independents.
El nombre Γ(1 / 4 ) està relacionat amb la constant de la lemniscata S per
Γ ( 1 4 ) = 2 π S , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {{\sqrt {2\pi }}S}},} i ha estat conjecturada per Gramain com
Γ ( 1 4 ) = 4 π 3 e 2 γ − δ + 1 4 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}} on δ és la constant de Masser-Gramain (successió A086058 a l'OEIS ), encara que el treball numèric de Melquiond et al. indica que aquesta conjectura és falsa.[1]
Borwein i Zucker van descobrir que Γ(n / 24 ) es pot expressar algebraicament en termes de π , K (k (1)) , K (k (2)) , K (k (3)) , i K (k (6)) on K (k (N )) és una integral integral el·líptica de primera espècie . Això permet aproximar de forma eficient la funció gamma d'arguments racionals amb una alta precisió utilitzant iteracions de convergència quadràtica de la mitjana aritmètico-geomètrica . No es coneixen cap relació similar en Γ(1 / 5 ) o en altres denominadors.
En particular, on AGM() és la mitjana aritmètica-geomètrica , tenim[2]
Γ ( 1 3 ) = 2 7 9 ⋅ π 2 3 3 1 12 ⋅ A G M ( 2 , 2 + 3 ) 1 3 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot AGM\left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}} Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 2 A G M ( 2 , 1 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{AGM\left({\sqrt {2}},1\right)}}}} Γ ( 1 6 ) = 2 14 9 ⋅ 3 1 3 ⋅ π 5 6 A G M ( 1 + 3 , 8 ) 2 3 . {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{AGM\left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\right)^{\frac {2}{3}}}}.} Altres fórmules inclouen els productes infinits
Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 4 ∏ k = 1 ∞ tanh ( π k 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)} i
Γ ( 1 4 ) = A 3 e − G π π 2 1 6 ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 2 k ) k ( − 1 ) k {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}} on A és la constant de Glaisher-Kinkelin i G és la constant del Catalan .
C. H. Brown va derivar ràpidament convergent la sèrie infinita convergent per a valors particulars de la funció gamma:[3]
( Γ ( 1 3 ) ) 6 12 π 4 = 1 10 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( − 1 ) k ( k ! ) 3 ( 3 k ) ! 3 k 160 3 k ( Γ ( 1 4 ) ) 4 128 π 3 = 1 u ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 2 w ) k ( k ! ) 3 ( 3 k ) ! 6486 3 k {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\left(\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\right)^{6}}{12\pi ^{4}}}&={\frac {1}{\sqrt {10}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(-1)^{k}}{(k!)^{3}(3k)!3^{k}160^{3k}}}\\{\frac {\left(\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right)^{4}}{128\pi ^{3}}}&={\frac {1}{\sqrt {u}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(2w)^{k}}{(k!)^{3}(3k)!6486^{3k}}}\end{aligned}}} on,
u = 273 + 180 2 v = 1 + 2 w = − 761 354 780 + 538 359 129 2 = 6486 3 2 ( u v 2 2 ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}u&=273+180{\sqrt {2}}\\v&=1+{\sqrt {2}}\\w&=-761\,354\,780+538\,359\,129{\sqrt {2}}={\frac {6486^{3}}{2\left(uv^{2}{\sqrt {2}}\right)^{3}}}\end{aligned}}} de manera equivalent,
( Γ ( 1 4 ) ) 4 128 π 3 = 1 u ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( k ! ) 3 ( 3 k ) ! 1 ( u v 2 2 ) 3 k . {\displaystyle {\frac {\left(\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right)^{4}}{128\pi ^{3}}}={\frac {1}{\sqrt {u}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!}{(k!)^{3}(3k)!}}{\frac {1}{(uv^{2}{\sqrt {2}})^{3k}}}.} Les següents dues representacions per a Γ(3 / 4 ) van ser lliurades per I. Mező[4]
π e π 2 1 Γ 2 ( 3 4 ) = i ∑ k = − ∞ ∞ e π ( k − 2 k 2 ) ϑ 1 ( i π 2 ( 2 k − 1 ) , e − π ) , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),} i
π 2 1 Γ 2 ( 3 4 ) = ∑ k = − ∞ ∞ ϑ 4 ( i k π , e − π ) e 2 π k 2 , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},} on ϑ 1 i ϑ ₄ són dues de les funcions theta de Jacobi.
Productes Algunes identitats de productes inclouen:
∏ r = 1 2 Γ ( r 3 ) = 2 π 3 ≈ 3.627 598 728 468 435 7012 {\displaystyle \prod _{r=1}^{2}\Gamma \left({\tfrac {r}{3}}\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\approx 3.627\,598\,728\,468\,435\,7012} (successió A186706 a l'OEIS ) ∏ r = 1 3 Γ ( r 4 ) = 2 π 3 ≈ 7.874 804 972 861 209 8721 {\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)={\sqrt {2\pi ^{3}}}\approx 7.874\,804\,972\,861\,209\,8721} (successió A220610 a l'OEIS ) ∏ r = 1 4 Γ ( r 5 ) = 4 π 2 5 ≈ 17.655 285 081 493 524 2483 {\displaystyle \prod _{r=1}^{4}\Gamma \left({\tfrac {r}{5}}\right)={\frac {4\pi ^{2}}{\sqrt {5}}}\approx 17.655\,285\,081\,493\,524\,2483} ∏ r = 1 5 Γ ( r 6 ) = 4 π 5 3 ≈ 40.399 319 122 003 790 0785 {\displaystyle \prod _{r=1}^{5}\Gamma \left({\tfrac {r}{6}}\right)=4{\sqrt {\frac {\pi ^{5}}{3}}}\approx 40.399\,319\,122\,003\,790\,0785} ∏ r = 1 6 Γ ( r 7 ) = 8 π 3 7 ≈ 93.754 168 203 582 503 7970 {\displaystyle \prod _{r=1}^{6}\Gamma \left({\tfrac {r}{7}}\right)={\frac {8\pi ^{3}}{\sqrt {7}}}\approx 93.754\,168\,203\,582\,503\,7970} ∏ r = 1 7 Γ ( r 8 ) = 4 π 7 ≈ 219.828 778 016 957 263 6207 {\displaystyle \prod _{r=1}^{7}\Gamma \left({\tfrac {r}{8}}\right)=4{\sqrt {\pi ^{7}}}\approx 219.828\,778\,016\,957\,263\,6207} En general:
∏ r = 1 n Γ ( r n + 1 ) = ( 2 π ) n n + 1 {\displaystyle \prod _{r=1}^{n}\Gamma \left({\tfrac {r}{n+1}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{n+1}}}} A partir d'aquests productes es poden deduir altres valors, per exemple, de les equacions anteriors per a ∏ r = 1 3 Γ ( r 4 ) {\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)} , Γ ( 1 4 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)} i Γ ( 2 4 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {2}{4}}\right)} , es pot deduir:
Γ ( 3 4 ) = ( π 2 ) 1 4 A G M ( 2 , 1 ) 1 2 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{AGM\left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}}
Altres relacions racionals inclouen
Γ ( 1 5 ) Γ ( 4 15 ) Γ ( 1 3 ) Γ ( 2 15 ) = 2 3 20 5 6 5 − 7 5 + 6 − 6 5 4 {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\Gamma \left({\tfrac {4}{15}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\tfrac {2}{15}}\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{20}]{3}}}{{\sqrt[{6}]{5}}\,{\sqrt[{4}]{5-{\frac {7}{\sqrt {5}}}+{\sqrt {6-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}}}}}} Γ ( 1 20 ) Γ ( 9 20 ) Γ ( 3 20 ) Γ ( 7 20 ) = 5 4 ( 1 + 5 ) 2 {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {9}{20}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {3}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {7}{20}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}} [5] Γ ( 1 5 ) 2 Γ ( 1 10 ) Γ ( 3 10 ) = 1 + 5 2 7 10 5 4 {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}} i moltes més relacions per a Γ(n / d ) on el denominador d divideix 24 o 60.[6]
Arguments imaginaris i complexos La funció gamma a la unitat imaginària i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} dona (successió A212877 a l'OEIS ), (successió A212878 a l'OEIS ):
Γ ( i ) = ( − 1 + i ) ! ≈ − 0.1549 − 0.4980 i . {\displaystyle \Gamma (i)=(-1+i)!\approx -0.1549-0.4980i.} També es pot donar en funció de la funció G de Barnes :
Γ ( i ) = G ( 1 + i ) G ( i ) = e − log G ( i ) + log G ( 1 + i ) . {\displaystyle \Gamma (i)={\frac {G(1+i)}{G(i)}}=e^{-\log G(i)+\log G(1+i)}.} Curiosament, Γ ( i ) {\displaystyle \Gamma (i)} apareix a l'avaluació integral següent:[7]
∫ 0 π / 2 { cot ( x ) } d x = 1 − π 2 + i 2 log ( π sinh ( π ) Γ ( i ) 2 ) . {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\{\cot(x)\}dx=1-{\frac {\pi }{2}}+{\frac {i}{2}}\log \left({\frac {\pi }{\sinh(\pi )\Gamma (i)^{2}}}\right).} on { ⋅ } {\displaystyle \{\cdot \}} denota la part fraccionària.
La funció gamma amb altres arguments complexos dona:
Γ ( 1 + i ) = i Γ ( i ) ≈ 0.498 − 0.155 i {\displaystyle \Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.498-0.155i} Γ ( 1 − i ) = − i Γ ( − i ) ≈ 0.498 + 0.155 i {\displaystyle \Gamma (1-i)=-i\Gamma (-i)\approx 0.498+0.155i} Γ ( 1 2 + 1 2 i ) ≈ 0.818 163 9995 − 0.763 313 8287 i {\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995-0.763\,313\,8287\,i} Γ ( 1 2 − 1 2 i ) ≈ 0.818 163 9995 + 0.763 313 8287 i {\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995+0.763\,313\,8287\,i} Γ ( 5 + 3 i ) ≈ 0.016 041 8827 − 9.433 293 2898 i {\displaystyle \Gamma (5+3i)\approx 0.016\,041\,8827-9.433\,293\,2898\,i} Γ ( 5 − 3 i ) ≈ 0.016 041 8827 + 9.433 293 2897 i . {\displaystyle \Gamma (5-3i)\approx 0.016\,041\,8827+9.433\,293\,2897\,i.}
Altres constants La funció gamma té un mínim local en l'eix real positiu
x min = 1.461 632 144 968 362 341 262 … {\displaystyle x_{\min }=1.461\,632\,144\,968\,362\,341\,262\ldots \,} (successió A030169 a l'OEIS )amb el valor
Γ ( x min ) = 0.885 603 194 410 888 … {\displaystyle \Gamma \left(x_{\min }\right)=0.885\,603\,194\,410\,888\ldots \,} (successió A030171 a l'OEIS ).La integració de la funció gamma inversa al llarg de l'eix real positiu també proporciona la constant de Fransén-Robinson .
En l'eix real negatiu , els primers màxims i mínims locals (zeros de la funció digamma ) són:
Extrem local aproximat de Γ(x ) x Γ(x ) OEIS −0, 504 083 008 264 455 409 258 269 304 −3, 544 643 611 155 005 089 121 963 993 (successió A175472 a l'OEIS ) −1, 573 498 473 162 390 458 778 286 043 2, 302 407 258 339 680 135 823 582 039 (successió A175473 a l'OEIS ) −2, 610 720 868 444 144 650 001 537 715 −0, 888 136 358 401 241 920 095 528 029 (successió A175474 a l'OEIS ) −3, 635 293 366 436 901 097 839 181 566 0, 245 127 539 834 366 250 438 230 088 (successió A256681 a l'OEIS ) −4, 653 237 761 743 142 441 714 598 151 −0, 052 779 639 587 319 400 760 483 570 (successió A256682 a l'OEIS ) −5, 667 162 441 556 885 535 849 474 174 0, 009 324 594 482 614 850 521 711 923 (successió A256683 a l'OEIS ) −6, 678 418 213 073 426 742 829 855 888 −0, 001 397 396 608 949 767 301 307 488 (successió A256684 a l'OEIS ) −7, 687 788 325 031 626 037 440 098 891 0, 000 181 878 444 909 404 188 101 417 (successió A256685 a l'OEIS ) −8, 695 764 163 816 401 266 488 776 160 −0, 000 020 925 290 446 526 668 753 697 (successió A256686 a l'OEIS ) −9, 702 672 540 001 863 736 084 426 764 0, 000 002 157 416 104 522 850 540 503 (successió A256687 a l'OEIS )
Referències