Transformada de Radon

Si una funció ${\displaystyle f}$ representa una densitat desconeguda, llavors la transformada de Radon representa les dades de projecció obtingudes com a resultat d'una exploració tomogràfica. Per tant, la inversa de la transformada de Radon es pot utilitzar per reconstruir la densitat original a partir de les dades de projecció i, per tant, forma la base matemàtica per a la reconstrucció tomogràfica, també coneguda com a reconstrucció iterativa.^[2]

Les dades de transformada de Radon sovint s'anomenen sinograma perquè la transformada de Radon d'una font puntual descentrada és una sinusoide. En conseqüència, la transformada de Radon d'un nombre d'objectes petits apareix gràficament com un nombre d'ones sinusoïdals borroses amb diferents amplituds i fases.

La transformada de Radon és útil en tomografia axial computada (TAC), escàners de codis de barres, microscòpia electrònica d'assemblatges macromoleculars com virus i complexos proteics, sismologia de reflexió i en la solució d' equacions diferencials parcials hiperbòliques.^[3]

Sigui ${\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)}$ una funció que compleixi les tres condicions de regularitat: ^[5]

1. ${\displaystyle f({\textbf {x}})}$ és contínua;
2. la integral doble ${\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy}$ , estenent-se per tot el pla, convergeix;
3. per a qualsevol punt arbitrari ${\displaystyle (x,y)}$ al pla ho sosté ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}$

La transformació del Radon, ${\displaystyle Rf}$ , és una funció definida en l'espai de rectes ${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}}$ per la integral de línia al llarg de cada recta com ara:

$${\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}$$

${\displaystyle L}$

${\displaystyle z}$

$${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}$$

${\displaystyle s}$

${\displaystyle L}$

${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle L}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle (\alpha ,s)}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Shepp Logan phantom

transformada Radon

transformada inversa Radon

$${\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle Rf}$

${\displaystyle \Sigma _{n}}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}$$

${\displaystyle d\sigma }$

${\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert }$

${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \Sigma _{n}}$

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s}$

${\displaystyle \alpha \in S^{n-1}}$

${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle n}$

${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$

$${\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}$$

${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La transformada de Radon està estretament relacionada amb la transformada de Fourier. Aquí definim la transformada de Fourier univariada com:

$${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}$$

${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$

$${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}$$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)}$

$${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}$$

$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}$$

${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}$

${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}$$