Transformada de Fourier de senyal discret

Sigui un senyal continu en funcií del temps ${\displaystyle x(t)}$ i la seva versió discretitzada ${\displaystyle x[n]}$ per a tota els nombres enters ${\displaystyle n}$ . La variable ${\displaystyle w}$ és la freqüència.

${\displaystyle X_{2\pi }(w)=\textstyle \sum _{-\infty }^{\infty }\displaystyle x[n]e^{-iwn}}$

En la següent taula es mostres operacions matemàtiques aplicades en el domini temporal i els seus corresponents efectes en el pla freqüencial:^[3]

•  El símbol * és la convolució discreta de 2 seqüències
• x[n]* és el complex conjugat de x[n]

Propietat	Domini temporal ${\displaystyle x[n]}$	Domini freqüencial ${\displaystyle X_{2\pi }(w)}$	Notes
Lenealitat	${\displaystyle a.x(n)+b.y(n)}$	a.${\displaystyle X_{2\pi }(w)}$ +b.${\displaystyle Y_{2\pi }(w)}$
Desplaçament en el temps	${\displaystyle x[n-k]\!}$	${\displaystyle X(e^{i\omega })e^{-i\omega k}\!}$	enter k
Desplaçament en la freqüència	${\displaystyle x[n]e^{ian}\!}$	${\displaystyle X(e^{i(\omega -a)})\!}$	real a
Inversió temporal	${\displaystyle x[-n]\!}$	${\displaystyle X(e^{-i\omega })\!}$
Conjugació temporal	${\displaystyle x[n]^{*}\!}$	${\displaystyle X(e^{-i\omega })^{*}\!}$
Inversió i conjugació temporal	${\displaystyle x[-n]^{*}\!}$	${\displaystyle X(e^{i\omega })^{*}\!}$
Derivada de la freqüència	${\displaystyle {\frac {n}{i}}x[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {dX(e^{i\omega })}{d\omega }}\!}$
Integral de la freqüència	${\displaystyle {\frac {i}{n}}x[n]\!}$	${\displaystyle \int _{-\pi }^{\omega }X(e^{i\vartheta })d\vartheta \!}$
Multiplicació temporal	${\displaystyle x[n]\cdot y[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X(e^{i\vartheta })\cdot Y(e^{i(\omega -\vartheta )})d\vartheta }\!}$
Convolució	${\displaystyle x[n]*y[n]\!}$	${\displaystyle X(e^{i\omega })\cdot Y(e^{i\omega })\!}$
Correlació	${\displaystyle \rho _{xy}[n]=x[-n]^{*}*y[n]\!}$	${\displaystyle R_{xy}(\omega )=X(e^{i\omega })^{*}\cdot Y(e^{i\omega })\!}$
Teorema de Parseval	${\displaystyle E=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]\cdot y^{*}[n]}\!}$	${\displaystyle E={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X(e^{i\omega })\cdot Y^{*}(e^{i\omega })d\omega }\!}$

• Transformada de Fourier
• Transformada discreta de Fourier
• Transformada z