Teorema de Birch

Sigui K un cos de nombres algebraics, k, l i n són nombres naturals, r₁, . . . ,r_k són nombres naturals senars, i f₁, . . . ,f_k són uns polinomi homogeni amb coeficients en K de graus r₁, . . . ,r_k respectivament en n variables, llavors existeix un nombre ψ(r₁, . . . ,r_k,l,K) tal que

${\displaystyle n\geq \psi (r_{1},\ldots ,r_{k},l,K)}$

implica que existeix un subespai vectorial V de dimensió l de Kⁿ tal que

${\displaystyle f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0,\quad \forall x\in V.}$

La demostració del teorema és per inducció sobre el grau màxim de les formes f₁, . . . ,f_k. Essencial per a la demostració és un cas especial, que pot ser demostrat per una aplicació del mètode del cercle de Hardy-Littlewood, del teorema que estableix que si n és prou gran i r és senar, llavors l'equació és

${\displaystyle c_{1}x_{1}^{r}+\cdots +c_{n}x_{n}^{r}=0,\quad c_{i}\in \mathbb {Z} ,i=1,\ldots ,n}$

té una solució en enters x₁, . . . ,x_n, no tots són 0.

La restricció a r senar és necessària, ja que les formes de grau parell, com les formes quadràtiques positives, poden prendre el valor 0 només a l'origen.