En Matemàtiques, una sèrie L de Dirichlet, és una sèrie del pla complex utilitzada en teoria analítica dels nombres.
Per continuació analítica, aquesta funció es pot estendre a una funció meromorfa en tot el pla complex.
Es construeix a partir d'un caràcter de Dirichlet i, en el cas on el caràcter és trivial, la funció L de Dirichlet s'identifica amb la funció zeta de Riemann.
Aquestes propietats permeten demostrar el teorema sobre els nombres primers en les progressions aritmètiques.
S'anomena així en l'honor del matemàtic alemany Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).
Sigui χ un caràcter de Dirichlet mòdul q on q és un enter estrictament positiu i s un nombre complex de part real superior a 1.
Es nota Γ la funció gamma, és una funció meromorfa que verifica la igualtat següent:
Utilitzem llavors el canvi de variable t = -n.ln(x), s'obté:
d'altra banda, χ és una funció periòdica de període q i que val zero sobre el conjunt dels enters múltiples de q, se'n dedueix la igualtat de les sèries formals:
se'n dedueix la igualtat següent:
El comportament dels sèrie en el punt u és la clau del teorema de la progressió aritmètica. És la raó per la qual Dirichlet va definir aquestes sèries. Aquí, N designa el conductor dels caràcters estudiats i χ0 el caràcter principal.
El que significa que no admet cap pol sobre aquesta regió.
El Producte d'Euler del caràcter principal és el següent:
El caràcter principal és igual a 1 excepte per als punts n que tenen un divisor comú amb N diferent de 1. Se'n dedueix la fórmula:
ζ designa aquí la funció zeta de Riemann. Ara bé, aquesta funció divergeix en el punt 1. Les demostracions es donen a l'article producte d'Euler.
Sigui χ un caràcter no principal, és ortogonal al caràcter principal (vegeu l'article caràcter de Dirichlet en el paràgraf Anàlisi harmònica), se'n dedueix que:
Se'n dedueix l'expressió següent de L(s,χ) si la part real de s és estrictament superior a 1 ja que la sèrie és absolutament convergent:
L'última igualtat és una conseqüència directa de (1).
L'objectiu és demostrar que l'expressió (2) de la sèrie és absolutament convergent si la part real de s és estrictament positiva. Es calcula el mòdul següent si r és diferent de zero.
Un desenvolupament limitat mostra que:
La majorant (4) mostra la convergència normal sobre el semi-pla complex de part real superior a ε, si ε és un real estrictament positiu. Aquesta resultat implica la proposició.
Aquest lema permet demostrar que els caràcters complexos no poden posseir 1 per a arrel.
Es raona per reducció a l'absurd. Siguin χ1 i χ₂ dos caràcters que tenen 1 per a arrel. Fixeu-vos al principi que cap dels dos no és el caràcter principal, en efecte el caràcter principal admet 1 per pol. Aquí, designa el grup dels caràcters de Dirichlet. Sigui D el disc tancat del pla complex de centre 1 i de radi un mig on s'ha suprimit el punt 1. Es determina el comportament al voltant del valor 1 de la funció ψ de D en el conjunt dels nombres complexos, definida per la igualtat següent:
Sobre el disc D, a excepció del caràcter principal χ0, tots els caràcters són analítics. El producte dels diferents caràcters a excepció de χ0, χ1 i χ₂ és una funció analítica, existeix per tant un real M1 que augmenta aquest producte sobre D.
Com que χ1 i χ₂ són analítics sobre D, les seves derivades també són augmentades sobre D, sigui M₂ tal augmentant. Llavors es verifica l'augmentant següent:
Se'n dedueix:
E nota x el mòdul de s-1, M₃ un majorant del produce de l'expressió (1) sobre el disc D i M1, M₂ i M₃. L'augmentant (1) es pot escriure:
Ara Bé el càlcul que determina el producte eulerià, (vegeu Producte eulerià de l'article caràcter de Dirichlet) mostra que, si U designa el grup de les unitats de Z/NZ i P el conjunt dels nombres primers:
Escollint per valor de x l'element neutre del grup i reemplaçant el producte eulerià per la seva sèrie, s'obté:
Per a tot valor real de s estrictament superior a 1, el logaritme de ψ(s) és estrictament positiu, se'n dedueix que ψ(s) és estrictament superior a 1 al veïnatge del punt 1, el que està en contradicció amb (2).
Si un caràcter és complex llavors el seu caràcter conjugat és diferent d'ell mateix i admet també 1 com a arrel, el lema precedent mostra que aquesta configuració és impossible.
Aquesta demostració és la més delicada. Dirichlet hi va treballar durant un any, la que es presenta aquí és obra d'Alexander Gelfond i Atle Selberg. Aquí χ designa un caràcter real no principal. La demostració proposada també és una prova per reducció a l'absurd. Se suposa per tant que L(1, χ) és nul.
Sigui (an(t)) on n és un enter estrictament positiu, la successió de funcions de ]0, 1 [ definida per:
Fiseu-vos que:
La convexitat de la funció funció exponencial mostra que, si ln designa el logaritme neperià:
L'augmentant precedent demostra que la successió (an) és positiva, la convergència absoluta cap a zero és evident.
Es Calcula an - an+1:
L'augmentant (1) mostra que:
Multiplicant l'augmentant (3) per la fracció adequada, s'obté:
L'augmentant (4) prova que la igualtat (3) és positiva.
S'obté l'augmentant següent:
El valor an(t) - an+1(t) és positivu i augmentadt per a1(t) ja que la successió (an(t)) és decreixent. La funció és periòdica de període N i la suma dels seus valors sobre N' enters consecutius és nul, (la demostració es dona al començament d'aquella sobre el caràcter analític de χ), el valor d'un caràcter és a més de mòdul 1, el que demostra que la suma dels χ no supera mai N en mòdul. Llavors per concloure n'hi ha prou amb fixar-se que per al valor 1 de n la funció an(t) és constant de valor 1.Se'n dedueix:
En efecte, per definició de la sèrie:
On, per hipòtesi L(1, χ) se suposa igual a zero.
Es nota A(m) la funció que a un enter m li associa la suma de les imatges dels divisors de m pel caràcter:
χ és un caràcter real, pren per tant els seus valors del conjunt {-1, 0, 1}, en conseqüència A(m) pren els seus valors en els enters.
Sigui p un nombre primer i k un enter positiu. Si χ(p) és nul, tota potència de p té la mateixa imatge per χ ja que un caràcter és una funció completament multiplicativa i A(pk) és igual a zero.
Si χ(p) és igual a 1, llavors tota potència de p té la mateixa imatge per i A(pk) és igual a p + 1.
Finalment si χ(p) és igual a -1, llavors tota potència de p val 1 si l'exponent és parell i -1 en cas contrari. En conseqüència A(pk) és igual a 1 si k és parell i 0 en el cas contrari.
Tota potència d'un nombre primer posseeix per tant una imatge positiva o nua per A. N'hi ha prou llavors amb fixar-se que A és també una funció completament multiplicativa per concloure que les imatges de A són sempre positives.
Finalment si m és un quadrat perfecte, llavors totes les potències en la seva descomposició en factors primers són de nombres parells, les seves imatges per A són sempre estrictament positives, la qual cosa permet acabar en un valor estrictament positiu.
Si és un caràcter primitiu amb , llavors només els zéros de amb Re(s)<0 són els enters parells negatius.Si és un caràcter primitiu amb , llavors només els zéros de amb Re(s)<0 són els enters imparells negatius.
Fins a l'existència possible d'un zero de Siegel, es coneix l'existència de regions sense incloure zero i més enllà de la recta Re(s)=1 similars a la funció zeta de Riemann per a totes les funcions L de Dirichlet.
De la mateixa manera que la funció de zeta de Riemann es conjectura com que compleix la hipòtesi de Riemann, les funcions L de Dirichlet es conjectura que compleixen la hipòtesi de Riemann generalitzada.
Se suposa que és un caràcter primitiu de mòdul k. Definint
on designa la funció gamma i el símbol a ve donat per
es té l'equació funcional
Aquí, s'ha escrit per al sumatori de Gauss
Nota : .
Les funcions L de Dirichlet es poden escriure com una combinació lineal de funcions zeta de Hurwitz amb valors racionals. Fixant un enter , les funcions L de Dirichlet per als caràcters mòdul k són les combinacions lineals, amb coeficients constants, de on q = m/k i m = 1, 2..., k. Això significa que la funció zeta de Hurwitz per a un de racional q posseeix propietats analítiques que estan íntimament vinculades a les funcions L de Dirichlet.Precisament, sigui un caràcter mòdul k. Llavors, es pot escriure la seva funció L de Dirichlet sota la forma
En particular, la funció L de Dirichlet del caràcter mòdul 1 dona la funció zeta de Riemann:
Aquest article té bibliografia, però no se sap quina referència verifica cada part. Podeu millorar aquest article assignant cadascuna d'aquestes obres a frases o paràgrafs concrets. |