Probabilitat posterior

La probabilitat posterior o a posteriori és un tipus de probabilitat condicional que resulta de l'actualització de la probabilitat prèvia amb informació resumida per la probabilitat, mitjançant una aplicació del teorema de Bayes.^[1] Des d'una perspectiva epistemològica, la probabilitat posterior conté tot el que cal saber sobre una proposició incerta (com ara una hipòtesi científica, o valors de paràmetres), donats els coneixements previs i un model matemàtic que descriu les observacions disponibles en un moment determinat. Després de l'arribada de nova informació, la probabilitat posterior actual pot servir com a anterior en una altra ronda d'actualització bayesiana.^[2][3]

En el context de l'estadística bayesiana, la distribució de probabilitat posterior normalment descriu la incertesa epistèmica sobre els paràmetres estadístics condicionada a una col·lecció de dades observades. A partir d'una distribució posterior determinada, es poden derivar diverses estimacions puntuals i d'interval, com ara el màxim a posteriori (MAP) o l'interval de densitat posterior més alt (HPDI). Però tot i que conceptualment és senzilla, la distribució posterior generalment no és tractable i, per tant, s'ha d'aproximar analíticament o numèricament.^[4]

En els mètodes bayesians variacionals, la probabilitat posterior és la probabilitat dels paràmetres ${\displaystyle \theta }$ donada l'evidència ${\displaystyle X}$, i es denota ${\displaystyle p(\theta |X)}$.

Contrasta amb la funció de versemblança, que és la probabilitat de l'evidència donat els paràmetres: ${\displaystyle p(X|\theta )}$.

Els dos estan relacionats de la següent manera:

Donada una probabilitat prèvia que una funció de distribució de probabilitat és ${\displaystyle p(\theta )}$ i que les observacions ${\displaystyle x}$ tenir una probabilitat ${\displaystyle p(x|\theta )}$, aleshores la probabilitat posterior es defineix com ${\displaystyle p(\theta |x)={\frac {p(x|\theta )}{p(x)}}p(\theta )}$^[5]

on ${\displaystyle p(x)}$ és la constant normalitzadora i es calcula com ${\displaystyle p(x)=\int p(x|\theta )p(\theta )d\theta }$

per contínua ${\displaystyle \theta }$, o sumant ${\displaystyle p(x|\theta )p(\theta )}$ sobre tots els valors possibles de ${\displaystyle \theta }$ per discrets ${\displaystyle \theta }$.^[6]

La probabilitat posterior és, per tant, proporcional al producte Veriblitat · Probabilitat prèvia.^[7]