Polinomis associats de Legendre

Aquestes funcions són denotades com a ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}$ , on el superíndex indica l'ordre, i no la potència de P. La seva definició més directa es dona en termes de les derivades dels polinomis de Legendre ordinaris (m ≥ 0)

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}(P_{\ell }(x))}$

El factor (−1)^m en aquesta fórmula és conegut com la fase de Condon–Shortley. Alguns autors l'ometen. Les funcions descrites per aquesta equació satisfan l'equació diferencial de Legendre donat un paràmetre ℓ, i m indica les vegades que es deriva l'equació de Legendre P_ℓ^[2]

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$

Com que per la fórmula de Rodrigues

${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}$

Pm
ℓ pot ser expressat de la forma

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}$

Aquesta equació permet l'extensió del rang de m a: −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Les definicions de P_ℓ^±m obtingudes d'aquesta expressió per substitució de ±m són proporcionals

${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$

amb constant de proporcionalitat

${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$

de manera que

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).}$

Les següents definicions alternatives també són usades en la literatura:^[3]

${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)}$

Assumint que 0 ≤ m ≤ ℓ, aleshores se satisfà la condició d'ortogonalitat, per a un m fix:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$

On ${\displaystyle \delta _{k,\ell }}$ és la delta de Kronecker.

Similarment, també se satisfà la condició de ortogonalitat per a un ℓ fix:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{si }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{si }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{si }}m=n=0\end{cases}}}$

L'equació diferencial és clarament invariant sota un canvi de signe de m.

S'ha vist que per a les funcions amb un valor de m negatiu, aquestes han de ser proporcionals a les funcions amb un m positiu:

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$

(Això s'obté de la definició de la fórmula de Rodrigues. Aquesta definició també fa que les diferents fórmules de recurrència funcionin per a valors de m positius o negatius.)

${\displaystyle {\textrm {Si}}\quad {\mid }m{\mid }>\ell \,\quad \mathrm {llavors} \quad P_{\ell }^{m}=0.\,}$

L'equació diferencial també és invariant sota un canvi de ℓ a -ℓ − 1, les funcions per a ℓ negatiu són definides per

${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,...)}$

Partint de la seva definició, es pot verificar que les funcions associades de Legendre són o bé parelles o senars segons:

${\displaystyle P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell +m}P_{\ell }^{m}(x)}$

A continuació es mostren els primers polinomis associats de Legendre, incloent aquells pels quals es tenen valors negatius de m:^[4]

${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$

${\displaystyle P_{1}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}P_{1}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{1}^{0}(x)=x}$

${\displaystyle P_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}P_{2}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{2}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}P_{2}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}$

${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}P_{3}^{3}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}P_{3}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}P_{3}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}$

${\displaystyle P_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{-4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{40320}}\end{matrix}}P_{4}^{4}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{5040}}\end{matrix}}P_{4}^{3}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{360}}\end{matrix}}P_{4}^{2}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{20}}\end{matrix}}P_{4}^{1}(x)}$

${\displaystyle P_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}$

${\displaystyle P_{4}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}}$

Aquestes funcions tenen algunes propietats de recurrència:

${\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)-P_{\ell +1}^{m+1}(x)\right]}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{P_{\ell }^{m}}'(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$

${\displaystyle (1-x^{2}){P_{\ell }^{m}}'(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}$

${\displaystyle (x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$

${\displaystyle (x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}$

Algunes identitats útils (valors inicials per a la primera recursió):

${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}$

${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{l}(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(l/2)}}$

${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$

on !! és el doble factorial.