Perpendicularitat

En un sistema de coordenades cartesià, les equacions de 2 línies rectes no verticals ${\displaystyle L}$ i ${\displaystyle M}$ són:

${\displaystyle L:y=ax+b,}$

${\displaystyle M:y=cx+d,}$

${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle c}$ són anomenades pendents de L i M.

Les línies seran perpendiculars si, i només si, satisfan la condició:^[1]

${\displaystyle a*c=-1}$ .

Exemple

Les rectes ${\displaystyle y=3x-2}$ i ${\displaystyle y=1-x/3}$ són perpendiculars ja que el producte de les seves pendents és -1.

Procediment per construir la línia perpendicular a AB passant pel punt P usant compàs i regle:

• Pas 1 (vermell): construïu un cercle amb centre P per crear els punts equidistants A' i B' a les interseccions amb AB.

• Pas 2 (verd): construïu sengles cercles centrats a A' i B', passant per P. Sia Q l'altre punt d'intersecció dels dits cercles.
• Pas 3 (blau): connecteu P i Q per construir la perpendicular PQ.

Demostració: Els triangles PQA' i PQB' són congruents doncs tenen tots tres costats iguals. Els triangles POA' i POB' també són congruents en ser OPB' i OPA' angles iguals. Això implica que els angles POA' i POB' són iguals i rectes.

• Ortogonal
• Paral·lelisme