Nombre primer més gran

El nombre primer més gran conegut (A Desembre 2020^[update]) és 2^82,589,933 − 1, un número que té 24.862.048 dígits quan s’escriu a la base 10. Es va trobar a través d'un ordinador voluntari per Patrick Laroche de la Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) el 2018.^[1]

Un nombre primer és un nombre enter positiu, excloent 1, sense divisors altres que 1 i ell mateix. Euclides va registrar una prova que no hi existeix el nombre primer més gran, molts matemàtics i aficionats continuen buscant grans nombres primers.

Molts dels primers més grans coneguts són els primers de Mersenne, nombres que són un menys que una potència de dos. A 2020^[update], els vuit primers més grans coneguts són els primers de Mersenne.^[2] Els últims disset primers registres van ser primers de Mersenne.^[3]^[4] La representació binària de qualsevol primer de Mersenne es compon de tots els 1, ja que la forma binària de 2 ^k - 1 és simplement k 1.^[5]

La implementació de la transformada ràpida de Fourier de la prova de primalitat de Lucas-Lehmer per als nombres de Mersenne és ràpida en comparació amb altres proves de primalitat conegudes per a altres tipus de nombres.

Registre actual

Actualment, el rècord el té el nombre 2^82,589,933 − 1 amb 24.862.048 dígits, trobats per GIMPS el desembre de 2018.^[1] El seu valor és:

148894445742041325547806458472397916603026273992795324185271289425213239361064475310309971132180337174752834401423587560 ...

(24,861,808 dígits omesos)

...

062107557947958297531595208807192693676521782184472526640076912114355308311969487633766457823695074037951210325217902591

Premis

El Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ofereix actualment un premi de descobriment de 3.000 dòlars EUA per als participants que descarreguen i executen el seu programari gratuït i l'ordinador dels quals trobe un nou primer Mersenne amb menys de 100 milions de dígits.

Hi ha diversos premis que ofereix la Electronic Frontier Foundation per a nous records.^[6] GIMPS també coordina els seus esforços de cerca de primers de 100 milions de dígits o més i dividirà el premi de 150.000 dòlars de la Electronic Frontier Foundation amb un participant guanyador.

El rècord va superar el milió de dígits el 1999, obtenint un premi de 50.000 dòlars dels EUA.^[7] El 2008, el rècord va superar els deu milions de dígits, obtenint un premi de 100.000 dòlars i un premi Cooperative Computing Award de la Electronic Frontier Foundation.^[6] Time el va anomenar el 29è invent principal del 2008.^[8] Tant els premis de 50.000 dòlars nord-americans com els 100.000 dòlars nord-americans van ser guanyats per la participació a GIMPS. S’ofereixen premis addicionals per al primer nombre primer que es troba amb almenys cent milions de dígits i el primer amb almenys mil milions de dígits.

Història dels nombres primers més grans coneguts

La taula següent mostra la progressió del nombre primer més gran conegut en ordre ascendent.^[3] Ací M_n = 2ⁿ − 1 és el nombre de Mersenne amb exponent n. El nombre que va tindre el rècord per més temps va ser M₁₉ = 524,287, que va ser el primer més gran conegut durant 144 anys. No es coneixen registres abans del 1456.

Nombre	Expansió deciman (només < M₅₀₀₀)	Dígits	Any	Descobridor
M₁₃	8,191	4	1456	Anònim
M₁₇	131,071	6	1588	Pietro Cataldi
M₁₉	524,287	6	1588	Pietro Cataldi
${\tfrac {2^{32}+1}{641}}$	6,700,417	7	1732	Leonhard Euler? Euler no va publicar explícitament la primalitat de 6.700.417, però les tècniques que havia utilitzat per factoritzar 232 + 1 significaven que ja havia fet la major part del treball necessari per demostrar-ho, i alguns experts creuen que en sabia.^[9]
M₃₁	2,147,483,647	10	1772	Leonhard Euler
${\tfrac {2^{64}+1}{274177}}$	67,280,421,310,721	14	1855	Thomas Clausen
M₁₂₇	170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727	39	1876	Édouard Lucas
${\tfrac {2^{148}+1}{17}}$	20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921	44	1951	Aimé Ferrier amb una calculadora mecànica; el registre més gran no establert per ordinador.
180×(M₁₂₇)²+1	5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352 183851018372555735221	79	1951	J. C. P. Miller & D. J. Wheeler^[10] Amb l'ordinador EDSAC
M₅₂₁	6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394 4634591855431833976560521225596406614545549772963113914808 58037121987999716643812574028291115057151	157	1952
M₆₀₇	53113799281676709868958820655246862732959311772703192319944 4138200403559860852242739162502265229285668889329486246501 01534657933765270723940951997876658735194383127083539321903 1728127	183	1952
M₁₂₇₉	10407932194664399081925240327364085538615262247266704805319 112350403608059673360298012239441732324184842421613954281007 79138356624832346490813990660567732076292412950938922034577 318334966158355047295942054768981121169367714754847886696250 138443826029173234888531116082853841658502825560466622483189 091880184706822220314052102669843548873295802887805086973618 6900714720710555703168729087	386	1952
M₂₂₀₃	14759799152141802350848986227373817363120661453331697751477712 164785702978780789493774073370493892893827485075314964804772 8126483876025919181446336533026954049696120111343015690239609 398909022625932693502528140961498349938822283144859860183431 853623092377264139020949023183644689960821079548296376309423 6630945410832793769905399982457186322944729636418890623372171 723742105636440368218459649632948538696905872650486914434637 4575072804418236768135178520993486608471725794084223166780976 7022401199028017047489448742692474210882353680848507250224051 9452587542875349976558572670229633962575212637477897785501552 646522609988869914013540483809865681250419497686697771007	664	1952
M₂₂₈₁	446087557183758429571151706402101809886208632412859901111991219963404685792 82047336911254526900398902615324593112431670239575870569367936479090349746 114707106525419335393812497822630794731241079887486904007027932842881031175 484410809487825249486676096958699812898264587759602897917153696250306842 961733170218475032458300917183210491605015762888660637214550170222592512522 40768296054271735739648129952505694124807207384768552936816667128448311908 776206067866638621902401185707368319018864792258104147140789353865624979681 787291276295949244119609613867139462798992750069549171397587960612238033935 373810346664944029510520590479686932553886479304409251041868170096401717641 33172418132836351	687	1952
M₃₂₁₇	25911708601320262777624676792244153094181888755312542730397492316187401926658 63620862012095168004834065506952417331941774416895092388070174103777095975120 423130666240829163535179523111861548622656045476911275958487756105687579311910 17711408826252153849035830401185072116424747461823031471398340229288074545677 907941037288235820705892351068433882986888616658650280927692080339605869308 79050040950370987590211901837199162099400256893511313654882973911265679730324 19865172501164127035097054277734779723498216764434466683831193225400996489940 5179024162405651905448369080961606162574304236172186333941585242643120873726 6591962061753535748892894599629195183082621860853400937932839420261866586142 50325145077309627423537682293864940712770084607712421182308080413929808705750 47138252645714483793711250320818261265666490842516994539518877896136502484057 3937859459944433523118828012366040626246860921215034993758478229223714433962 8858485938215738821232393687046160677362909315071	969	1957
M₄₄₂₃	2855425422282796139015635661021640083261642386447028891992474566022844003906 00653875954571505539843239754513915896150297878399377056071435169747221107988 7911982009884775313392142827720160590099045866862549890848157354224804090223 44297588352526004383890632616124076317387416881148592486188361873904175783145 6960169195743907655982801885990355784485910776836771755204340742877265780062 66759615970759521327828555662781678385691581844436444812511562428136742490459 363212810180276096088111401003377570363545725120924073646921576797146199387619 29656030268026179011813292501232304644443862230887792460937377301248168167242 44936744744885377701557830068808526481615130671448147902883666640622572746652 757871273746492310963750011709018907862633246195787957314256938050730561196775 8033808433338198750090296883193591309526982131114132239335649017848872898228 81562826008138312961436638459454311440437538215428712777456064478585641592133 2844358020642271469491309176271644704168967807009677359042980890961675045292 725800084350034483162829708990272864998199438764723457427626372969484830475 09171741861811306885187927486226122933413689280566343844666463265724761672756 60839105650528975713899320211121495795311427946254553305387067821067601768750 97786610046001460213840844802122505368905479374200309572209673295475072171811 5531871310231057902608580607	1,332	1961
M₉₆₈₉		2,917	1963
M₉₉₄₁		2,993	1963
M₁₁₂₁₃		3,376	1963
M₁₉₉₃₇		6,002	1971	Bryant Tuckerman
M₂₁₇₀₁		6,533	1978	Laura A. Nickel and Landon Curt Noll^[11]
M₂₃₂₀₉		6,987	1979	Landon Curt Noll
M₄₄₄₉₇		13,395	1979	David Slowinski and Harry L. Nelson
M₈₆₂₄₃		25,962	1982	David Slowinski
M₁₃₂₀₄₉		39,751	1983	David Slowinski
M₂₁₆₀₉₁		65,050	1985	David Slowinski
391581×2²¹⁶¹⁹³−1		65,087	1989	A group, "Amdahl Six": John Brown, Landon Curt Noll, B. K. Parady, Gene Ward Smith, Joel F. Smith, Sergio E. Zarantonello.^[12]^[13] El nombre primer més gran no Mersenne que va ser el primer més gran conegut quan es va descobrir.
M₇₅₆₈₃₉		227,832	1992	David Slowinski and Paul Gage
M₈₅₉₄₃₃		258,716	1994	David Slowinski and Paul Gage
M_1257787		378,632	1996	David Slowinski and Paul Gage
M_1398269		420,921	1996	GIMPS, Joel Armengaud
M_2976221		895,932	1997	GIMPS, Gordon Spence
M_3021377		909,526	1998	GIMPS, Roland Clarkson
M_6972593		2,098,960	1999	GIMPS, Nayan Hajratwala
M_13466917		4,053,946	2001	GIMPS, Michael Cameron
M_20996011		6,320,430	2003	GIMPS, Michael Shafer
M_24036583		7,235,733	2004	GIMPS, Josh Findley
M_25964951		7,816,230	2005	GIMPS, Martin Nowak
M_30402457		9,152,052	2005	GIMPS, Curtis Cooper i Steven Boone professors de la Universitat Central de Missouri
M_32582657		9,808,358	2006	GIMPS, Curtis Cooper i Steven Boone
M_43112609		12,978,189	2008	GIMPS, Edson Smith
M_57885161		17,425,170	2013	GIMPS, Curtis Cooper
M_74207281		22,338,618	2016	GIMPS, Curtis Cooper
M_77232917		23,249,425	2017	GIMPS, Jonathan Pace
M_82589933		24,862,048	2018	GIMPS, Patrick Laroche

GIMPS va trobar els quinze últims registres (tots ells primers de Mersenne) en ordinadors normals operats per participants de tot el món.

Els vint nombres primers més grans coneguts

Chris K. Caldwell manté una llista dels 5.000 primers coneguts més grans,^[14]^[15] dels quals els vint més grans es mostren a continuació.

Rang	Número	Descobert	Dígits	Ref
1	2 ^82589933 - 1	07/12/2018	24.862.048	^[1]
2	2 ^77232917 - 1	26/12/2017	23.249.425	^[16]
3	2 ^74207281 - 1	07/01/2016	22.338.618	^[17]
4	2 ^57885161 - 1	25-01-2013	17.425.170	^[18]
5	2 ^43112609 - 1	23-08-2008	12.978.189	^[19]
6	2 ^42643801 - 1	04/06/2009	12.837.064	^[20]
7	2 ^37156667 - 1	06-09-2008	11.185.272
8	2 ^32582657 - 1	04-09-2006	9.808.358	^[21]
9	10223 × 2 ^31172165 + 1	31-10-2016	9.383.761	^[22]
10	2 ^30402457 - 1	15/12/2005	9.152.052	^[23]
11	2 ^25964951 - 1	18-02-2005	7.816.230	^[24]
12	2 ^24036583 - 1	15/05/2004	7.235.733	^[25]
13	2 ^20996011 - 1	17/11/2003	6.320.430	^[26]
14	1059094 ^1048576 + 1	31-10-2018	6.317.602	^[27]
15	919444 ^1048576 + 1	29-08-2017	6.253.210	^[28]
16	168451 × 2 ^19375200 + 1	17-09-2017	5.832.522	^[29]
17	123447 ^1048576 - 123447 ⁵²⁴²⁸⁸ + 1	23-02-2017	5.338.805	^[30]
18	7 × 6 ^6772401 + 1	09-09-2019	5.269.954	^[31]
19	8508301 × 2 ^17016603 - 1	21-03-2018	5.122.515	^[32]
20	6962 × 31 ^2863120 - 1	29-02-2020	4.269.952	^[33]

Referències

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]