Matriu de Toeplitz

En àlgebra lineal, una matriu de Toeplitz o matriu de constants diagonals, anomenada després d'Otto Toeplitz, és una matriu en la qual cada diagonal descendent d'esquerra a dreta és constant. Per exemple, la matriu següent és una matriu de Toeplitz: ^[1]

${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\f&a&b&c&d\\g&f&a&b&c\\h&g&f&a&b\\i&h&g&f&a\end{bmatrix}}.}$

Qualsevol matriu ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ de la forma

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\cdots &\cdots &a_{-(n-1)}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}$

és una matriu de Toeplitz. Si el ${\displaystyle i,j}$ element de ${\displaystyle A}$ es denota ${\displaystyle A_{i,j}}$ llavors tenim

${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{i-j}.}$

Una matriu de Toeplitz no és necessàriament quadrada. ^[2]