Mòdul
Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la qual el cos d'escalars és substituït per un anell.
A-mòduls per l'esquerra
Sigui un anell i
un grup abelià. El grup
té estructura de
-mòdul per l'esquerra si l'anell
opera linealment per l'esquerra sobre els elements de
, és a dir, si hi ha una operació externa de
sobre
:
amb les condicions de linealitat
per a i
. Si, a més, l'anell té unitat, es demana que
A-mòduls per la dreta
Si l'operació externa és per la dreta,
amb les corresponents condicions de linealitat:
aleshores es tracta d'un -mòdul per la dreta.
A-mòduls bilàters
Si l'anell és commutatiu, aleshores és possible la identificació
, perquè les condicions
i
ja no són contradictòries. Aleshores
té estructura de
-mòdul bilàter o, simplement, d'
-mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un
-mòdul per l'esquerra.
Exemples
- Si
és un anell, ell mateix es pot considerar com a
-mòdul de manera natural:
- Els grups commutatius són
-mòduls. En efecte, si
és un grup commutatiu (notació additiva) i
, l'operació externa de
sobre
donada per:
- dota el grup
d'una estructura de
-mòdul.
- Els espais vectorials sobre un cos
són
-mòduls.
- Si
és l'anell d'endomorfismes d'un
-mòdul
, l'operació externa
- fa que
es pugui considerar un
-mòdul.
- Si
és un anell i
n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi
, amb l'operació
- és un
-mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot
i tot
, el producte
pertany a
.