Lema dels nuclis

Primerament, mostrarem per recurrència sobre ${\displaystyle n}$ que, si el lema és cert per ${\displaystyle n=2}$ , llavors també és cert per tot ${\displaystyle n}$ . Pel cas ${\displaystyle n=1}$ no hi ha res a demostrar (la projecció mencionada és la identitat, que és ${\displaystyle Q(f)}$ amb Q el polinomi constant 1). Si ${\displaystyle n>2}$ , escrivim ${\displaystyle Q=P_{1}P_{2}\cdots P_{n-1}}$ i llavors ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}P_{i}=QP_{n}}$ , d'on ${\displaystyle Q}$ és primer amb ${\displaystyle P_{n}}$ (ja que, per la identitat de Bézout per polinomis, cadascun dels factors ${\displaystyle P_{i}}$ de ${\displaystyle Q}$ és invertible mòdul ${\displaystyle P_{n}}$ , i per tant també ho és el seu producte ${\displaystyle Q}$ ). El cas ${\displaystyle n=2}$ ens diu que ${\displaystyle \ker(QP_{n})(f)=\ker Q(f)\oplus \ker P_{n}(f)}$ , amb les projeccions corresponents donades per polinomis en l'endomorfisme f; la hipòtesi d'inducció ens permet descompondre ${\displaystyle \ker Q(f)\,}$ com a suma directa dels ${\displaystyle \ker P_{i}(f)\,}$ per ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ , i les projeccions de ${\displaystyle \ker Q(f)\,}$ sobre aquests factors es componen amb la projecció sobre ${\displaystyle \ker Q(f)\,}$ per donar finalment les projeccions desitjades ${\displaystyle \ker(QP_{n})(f)\to \ker P_{i}(f)}$ .

Es pot veure de forma senzilla que l'espai ${\displaystyle V=\ker(P_{1}P_{2})(f)}$ conté els espais ${\displaystyle V_{i}=\ker P_{i}(f)\,}$ per ${\displaystyle i=1,2}$ , i per tant també conté la seva suma; ara es tracta de demostrar que la suma ${\displaystyle V_{1}+V_{2}}$ és directa, i que és igual a tot V (amb les projeccions polinòmiques en ${\displaystyle f\,}$ ).Per la identitat de Bézout, existeixen ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}\in K[X]}$ tals que ${\displaystyle P_{1}Q_{1}+P_{2}Q_{2}=1}$ , i per tant ${\displaystyle (P_{1}Q_{1}+P_{2}Q_{2})(f)=\mathrm {id} _{E}}$ (la funció identitat de ${\displaystyle E}$ ). Notem que

${\displaystyle \pi _{i}=(P_{j}Q_{j})(f)\mid _{V}\,\in \mathrm {End} (V)\qquad \mathrm {on} ~\{i,j\}=\{1,2\}}$ ,

i llavors ${\displaystyle \pi _{1}+\pi _{2}=\mathrm {id} _{V}\,}$ i ${\displaystyle \pi _{1}(V_{2})=\pi _{2}(V_{1})=\{0\}\,}$ .

Per veure que la suma ${\displaystyle V_{1}+V_{2}}$ és directa, considerem ${\displaystyle x\in V_{1}\cap V_{2}}$ . Tenim que ${\displaystyle x=\pi _{1}(x)+\pi _{2}(x)=0\,}$ , i la suma és, doncs, directa.

Per veure que ${\displaystyle V_{1}+V_{2}=V}$ , considerem ${\displaystyle x\in V}$ . Tenim que ${\displaystyle x=\pi _{1}(x)+\pi _{2}(x)\,}$ amb ${\displaystyle \pi _{1}(x)\in V_{1}\,}$ , ja que

${\displaystyle P_{1}(f)(\pi _{1}(x))=(P_{1}P_{2}Q_{2})(f)(x)=(Q_{2}P_{1}P_{2})(f)(x)=Q_{2}(f)(0)=0\,}$ ,

i similarment ${\displaystyle \pi _{2}(x)\in V_{2}\,}$ . D'aquí concloem que ${\displaystyle v\in V_{1}+V_{2}}$ i, per tant, ${\displaystyle V=V_{1}+V_{2}}$ .

Finalment, les projeccions de ${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}$ sobre els factors són ${\displaystyle \pi _{1}\,}$ i ${\displaystyle \pi _{2}\,}$ : ja hem vist que la imatge de ${\displaystyle \pi _{i}\,}$ està continguda a ${\displaystyle V_{i}}$ , i que s'anul·la per l'altre factor; només resta veure que ${\displaystyle \pi _{i}\,}$ és la identitat sobre ${\displaystyle V_{i}}$ . Per ${\displaystyle x\in V_{i}}$ tenim que ${\displaystyle x=\pi _{1}(x)+\pi _{2}(x)=\pi _{i}(x)\,}$ , cosa que volíem demostrar.

El lema dels nuclis és útil per reduir endomorfismes. Per exemple:

Demostració

Per hipòtesi, ${\displaystyle \ker P(f)=E}$ . Llavors, pel lema dels nuclis: ${\displaystyle E=\bigoplus _{i=1}^{n}\ker P_{i}^{m_{i}}(f).}$ Cada subespai ${\displaystyle \ker P_{i}^{m_{i}}(f)}$ és invariant per ${\displaystyle f}$ , i per tant la matriu de ${\displaystyle f}$ (en qualsevol base de ${\displaystyle E}$ adaptada a la descomposició anterior en subespais invariants) és diagonal per blocs, com volíem demostrar.