Funcions de Weierstrass

La funció sigma de Weierstrass associat a una xarxa bidimensional ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$ es defineix com el producte^[1]

${\displaystyle \sigma (z;\Lambda )=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)e^{z/w+{\frac {1}{2}}(z/w)^{2}}}$

on ${\displaystyle \Lambda ^{*}}$ denota ${\displaystyle \Lambda -\{0\}}$ .

La funció zeta de Weierstrass es defineix per la suma

${\displaystyle \zeta (z;\Lambda )={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).}$

La funció zeta Weierstrass és la derivada logarítmica de la funció sigma. La funció zeta es pot reescriure com:

${\displaystyle \zeta (z;\Lambda )={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}}$

on ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}$ és la sèrie d'Eisenstein de pes 2k + 2.

La derivada de la funció zeta és ${\displaystyle -\wp (z)}$ , on ${\displaystyle \wp (z)}$ és la funció el·líptica de Weierstrass.

En la teoria de nombres, no s'ha de confondre la funció zeta de Weierstrass amb la funció zeta de Riemann.

La funció eta de Weierstrass es defineix com

${\displaystyle \eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ per a qualsevol }}z\in \mathbb {C} }$ i qualsevol w en la gelosia ${\displaystyle \Lambda }$

Està ben definit, és a dir, ${\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )}$ només depèn del vector de xarxa w.

No s'ha de confondre la funció eta de Weierstrass amb la funció eta de Dedekind o amb la funció eta de Dirichlet.

La funció p de Weierstrass està relacionada amb la funció zeta per

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=-\zeta '(z;\Lambda ),{\mbox{ per a qualsevol }}z\in \mathbb {C} }$

La funció p de Weierstrassés una funció el·líptica uniforme de l'ordre N = 2 amb un pol doble en cada punt de la xarxa i no té cap altre pol.