Funció injectiva

Sigui f : X → Y una aplicació, es diu que f és injectiva si i només si per a qualsevol ${\displaystyle a,b\in X}$ , si ${\displaystyle a\neq b}$ aleshores ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$ o, cosa que és el mateix, si el fet que ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ implica que necessàriament ${\displaystyle a=b}$ .

També es poden definir les funcions injectives com aquelles funcions per a les quals es poden desfer els canvis que provoquen. Així doncs, si f : X → Y és una aplicació injectiva aleshores existeix una altra funció g : Y → X tal que ${\displaystyle g(f(x))=x}$ per a tot valor x del conjunt X, és a dir que la funció composició g∘f és igual a la funció identitat del conjunt X.

Tingueu en compte que aquesta funció g pot no ser la funció inversa completa de f, perquè la composició en el sentit contrari f∘g pot no ser la identitat de Y.

En realitat però, convertir una funció f : X → Y injectiva en una de bijectiva i per tant invertible és tan senzill com substituir el seu conjunt d'arribada Y pel seu vertader recorregut I=f(X). És a dir, sigui f_b: X → I tal que per a tot x del domini X es compleixi que f_b(x)=f(x), tindrem que la funció f_b és bijectiva.