De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
La funció gamma de Hadamard representada sobre una part de l'eix real . A diferència de la funció gamma clàssica, és holomorfa , no hi ha pols En matemàtiques , la funció gamma de Hadamard , anomenada així en honor del matemàtic francès Jacques Hadamard , és una extensió de la funció factorial , diferent de la funció gamma . Aquesta funció, amb el seu argument desplaçat -1, interpola el factorial i l'amplia als nombres reals i complexos d'una manera diferent a la funció gamma d'Euler .
Es defineix com:
H ( x ) = 1 Γ ( 1 − x ) d d x { ln ( Γ ( 1 2 − x 2 ) Γ ( 1 − x 2 ) ) } {\displaystyle H(x)={\frac {1}{\Gamma (1-x)}}\,{\dfrac {d}{dx}}\left\{\ln \left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}})}{\Gamma (1-{\frac {x}{2}})}}\right)\right\}} on Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} denota la funció gamma clàssica. Si n {\displaystyle n} és un enter positiu , llavors:
H ( n ) = ( n − 1 ) ! . {\displaystyle H(n)=(n-1)!.\,} Propietats A diferència de la funció gamma clàssica, la funció gamma de Hadamard H ( x ) {\displaystyle H(x)} és tota una funció, és a dir, no té pols en el seu domini . Compleix l'equació funcional
H ( x + 1 ) = x H ( x ) + 1 Γ ( 1 − x ) {\displaystyle H(x+1)=xH(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}}} Representacions La funció gamma de Hadamard es pot expressar en termes de funcions de digamma com
H ( x ) = ψ ( 1 − x 2 ) − ψ ( 1 2 − x 2 ) 2 Γ ( 1 − x ) {\displaystyle H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {x}{2}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)}{2\,\Gamma (1-x)}}} i és
H ( x ) = Γ ( x ) [ 1 + sin ( π x ) 2 π { ψ ( x 2 ) − ψ ( x + 1 2 ) } ] , {\displaystyle H(x)=\Gamma (x)\left[1+{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}\left\{\psi \left({\dfrac {x}{2}}\right)-\psi \left({\dfrac {x+1}{2}}\right)\right\}\right],} on ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} denota la funció digamma .
Bibliografia