Funció de Mittag-Leffler

Per ${\displaystyle \alpha =0}$ trobem la suma d'una progressió geomètrica:

${\displaystyle E_{0,1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}.}$

Per ${\displaystyle \alpha =1}$ trobem una funció exponencial:

${\displaystyle E_{1,1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).}$

Per ${\displaystyle \alpha =1/2}$ trobem una funció d'error:

${\displaystyle E_{1/2,1}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).}$

Per ${\displaystyle \alpha =2}$ trobem un cosinus hiperbòlic:

${\displaystyle E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}}).}$

Per ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$ , la seva integral

${\displaystyle \int _{0}^{z}E_{\alpha ,1}(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s}$

dona, respectivament:

${\displaystyle \arctan(z),}$

${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (z),}$

${\displaystyle \sin(z).}$