Funció X i Y de Chandrasekhar

La funcio ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ es pot aproximar fins al n-èsim grau com

${\displaystyle {\begin{aligned}X(\mu )&={\frac {(-1)^{n}}{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}{\frac {1}{[C_{0}^{2}(0)-C_{1}^{2}(0)]^{1/2}}}{\frac {1}{W(\mu )}}[P(-\mu )C_{0}(-\mu )-e^{-\tau _{1}/\mu }P(\mu )C_{1}(\mu )],\\[5pt]Y(\mu )&={\frac {(-1)^{n}}{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}{\frac {1}{[C_{0}^{2}(0)-C_{1}^{2}(0)]^{1/2}}}{\frac {1}{W(\mu )}}[e^{-\tau _{1}/\mu }P(\mu )C_{0}(\mu )-P(-\mu )C_{1}(-\mu )]\end{aligned}}}$

on ${\displaystyle C_{0}}$ i ${\displaystyle C_{1}}$ són dos polinomis bàsics de grau n (Consulteu l'equació de Chandrasekhar capítol VIII (97)^[1]), ${\displaystyle P(\mu )=\prod _{i=1}^{n}(\mu -\mu _{i})}$ on ${\displaystyle \mu _{i}}$ són els zeros dels polinomis de Legendre i ${\displaystyle W(\mu )=\prod _{\alpha =1}^{n}(1-k_{\alpha }^{2}\mu ^{2})}$ , on ${\displaystyle k_{\alpha }}$ són les arrels positives i no desaparegudes de l'equació característica associada

${\displaystyle 1=2\sum _{j=1}^{n}{\frac {a_{j}\Psi (\mu _{j})}{1-k^{2}\mu _{j}^{2}}}}$

on ${\displaystyle a_{j}}$ són els pesos de quadratura donats per

${\displaystyle a_{j}={\frac {1}{P_{2n}'(\mu _{j})}}\int _{-1}^{1}{\frac {P_{2n}(\mu _{j})}{\mu -\mu _{j}}}\,d\mu _{j}}$

• Si ${\displaystyle X(\mu ,\tau _{1}),\ Y(\mu ,\tau _{1})}$ són les solucions per a un valor particular de ${\displaystyle \tau _{1}}$ , llavors les solucions per a altres valors de ${\displaystyle \tau _{1}}$ s'obtenen de les següents equacions integro-diferencials

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial X(\mu ,\tau _{1})}{\partial \tau _{1}}}&=Y(\mu ,\tau _{1})\int _{0}^{1}{\frac {d\mu '}{\mu '}}\Psi (\mu ')Y(\mu ',\tau _{1}),\\{\frac {\partial Y(\mu ,\tau _{1})}{\partial \tau _{1}}}+{\frac {Y(\mu ,\tau _{1})}{\mu }}&=X(\mu ,\tau _{1})\int _{0}^{1}{\frac {d\mu '}{\mu '}}\Psi (\mu ')Y(\mu ',\tau _{1})\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}X(\mu )\Psi (\mu )\,d\mu =1-\left[1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu +\left\{\int _{0}^{1}Y(\mu )\Psi (\mu )\,d\mu \right\}^{2}\right]^{1/2}.}$ En casos conservadors, aquesta integral pròpia es redueix a ${\displaystyle \int _{0}^{1}[X(\mu )+Y(\mu )]\Psi (\mu )\,d\mu =1.}$
• Si s'introdueixen les simplificacions ${\displaystyle x_{n}=\int _{0}^{1}X(\mu )\Psi (\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ y_{n}=\int _{0}^{1}Y(\mu )\Psi (\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ \alpha _{n}=\int _{0}^{1}X(\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ \beta _{n}=\int _{0}^{1}Y(\mu )\mu ^{n}\,d\mu }$ , llavors tenim una relació que indica ${\displaystyle (1-x_{0})x_{2}+y_{0}y_{2}+{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}-y_{1}^{2})=\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\mu ^{2}\,d\mu .}$ En el cas conservador, això es redueix a ${\displaystyle y_{0}(x_{2}+y_{2})+{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}-y_{1}^{2})=\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\mu ^{2}\,d\mu }$
• Si la funció característica és ${\displaystyle \Psi (\mu )=a+b\mu ^{2}}$ , on ${\displaystyle a,b}$ són dues constants, aleshores tenim ${\displaystyle \alpha _{0}=1+{\frac {1}{2}}[a(\alpha _{0}^{2}-\beta _{0}^{2})+b(\alpha _{1}^{2}-\beta _{1}^{2})]}$ .
• En els casos conservadors, les solucions no són úniques. Si ${\displaystyle X(\mu ),\ Y(\mu )}$ són solucions de l'equació original, llavors també són les solucions d'aquestes dues funcions ${\displaystyle F(\mu )=X(\mu )+Q\mu [X(\mu )+Y(\mu )],\ G(\mu )=Y(\mu )+Q\mu [X(\mu )+Y(\mu )]}$ , on ${\displaystyle Q}$ és una constant arbritària.