Porodica Asmira Begovića je zbog rata u Bosni i Hercegovini preselila u Njemačku 1996. godine, a ubrzo Asmir počinje nastupati u omladinskom pogonu Kirchhausena iz Heilbronna.[2] Sa 10 godina, Begović i njegova porodica sele u Edmonton u Kanadi. Dolaskom u Kanadu, Begović studira na St. Francis Xavier školi gdje počinje igrati za njihovu akademiju. Godine 2003., Asmir Begović prima poziv od Portsmoutha i Tottenhama za odigravanje probnih utakmica. Nakon samo dva dana probnih utakmica s Portsmouthom, klub mu nudi prvi profesionalni ugovor prije početka probnih utakmica sa Tottenhamom.[2]
Godine 2003., Begović potpisuje svoj prvi profesionalni ugovor sa Portsmouthom i pridružuje se njihovom omladinskom pogonu. U 2005. godini, Begović ide na posudbu u La Louvière za koje je odigrao svega 2 utakmice.
Sezonu 2006-07 provodi na posudbi u Macclesfield Townu gdje je odigrao prvu utakmicu za neki seniorski tim protiv Stockporta 25. novembra, kada je ušao kao zamjena za prvog golmana Johnnyja Braina, koji se povrijedio. No i on se povrijedio nakon samo tri utakmice. Sve do potpisa ugovora za Stoke posuđivan je raznim klubovima, u kojima je ostajao po jednu sezonu.[2]
U augustu 2007. prvi je put bio na spisku Portsmoutha, u utakmici protiv Aston Ville. Prvu utakmicu za Portsmouth odigrao je protiv Sunderlanda, kada je njegov tim pobjedio s 3-1, 18. maja 2009.[3]
1. februara 2010. godine, Begović potpisuje ugovor za engleski Stoke City. Transfer je iznosio oko 4 miliona eura. Debi za novi klub je imao 25. aprila 2010. na utakmici protiv Chealsea. U decembru 2011. godine, Begović produžuje ugovor sa Stoke Cityem na dodatne četiri i pol godine. Od marta 2012. godine, Asmir postaje prvi golman Stok Citya, kada uspjeva primiti samo 12 gola na 15 utakmica u prvom dijelu sezone. Begović je postigao prvi gol svoje karijere 2. novembra 2013. godine u prvoj minuti utakmice[4] protiv Southamptona.[5] Time je postao peti golman u historiji engleske Premijer lige koji je postigao pogodak.[6] Zahvaljujući tom golu, Begović ulazi u Guinnessovu knjigu rekorda za najdalji gol postignut u fudbalu. U narednim sezonama, Begović ostaje prvi golman kluba i uspjeva upisati 50 utakmica bez primljenog gola. Do odlaska u Chelsea, Begović sakuplja 172 nastupa za Stoke u pet i pol godina provedenih u klubu. U ljeto 2015. godine, kreću špekulacije o mogućem prelasku Begovića u Chelsea.
U julu 2015. Begović je za 8 miliona funti potpisao za engleski klub Chelsea.[7][8] Njegov prvi zvanični nastup desio se 8. augusta 2015. godine, kada ulazi u igru umjesto Oscara nakon načinjenog penala od strane Courtoise nad Gomisom u utakmici protiv Swansea. Begović brani sve do decembra 2015. godine, kada se prvi golman Courtoisa vraća u prvi sastav nakon oporavka od povrede. Do kraja sezone Begović upisuje par nastupa, naviše u Ligi prvaka i kup utakmicama.
Begović je branio za Kanadu na U-20 Svjetskom prvenstvu 2007. godine. Branio je jako dobro uprkos porazu 3-0 od Čilea.[9]
Begović je 14. augusta 2007. dobio prvi poziv za kanadsku A-reprezentaciju za prijateljsku utakmicu s Islandom.[10] Begović je prihvatio poziv, ali nije zaigrao za tim u kvalifikacijama za Svjetsko prvenstvo 2010. Gold cup 2009. propustio je zato što je Portsmouth tražio od njega da provede pripremni period s njima. No, to je iskoristio Miroslav "Ćiro" Blažević, tadašnji selektor i pozvao ga da nastupa za bosanskohercegovačku reprezentaciju.[11] Begović je na to pristao, no 12. jula 2009. dao je intervju za kanadske medije u kojem je izrazio želju da i dalje brani za Kanadu, te tvrdio da neće nastupati za Bosnu i Hercegovinu.[12] No, kasnije je to demantirao tvrdeći da je došlo do nesporazuma i da je njegova jedina reprezentacija Bosna i Hercegovina.[13]
Miroslav Blažević uvrstio ga je na spisak reprezentacije Bosne i Hercegovine za prijateljsku utakmicu protiv Irana, no nije mogao doći zbog rođenja kćeri[14], ali je obećao da će se odazvati na kvalifikacijske utakmice za Svjetsko prvenstvo 2010. protiv Armenije 5. septembra, te Turske 9. septembra 2009.[15]
Igrao je na Svjetskom prvenstvu 2014. u Brazilu.[16]. Odigrao je sve tri utakmice grupne faze prvenstva, ali se Bosna i Hercegovina nije uspjela plasirati u fazu doigravanja.
Asmirov otac Amir bio je golman u FK Leotaru iz Trebinja i Iskri iz Stoca. Majka Ajnija rodom je iz Stoca. Asmir je s porodicom napustio Bosnu i Hercegovinu tokom rata 1990-ih, otišavši u Njemačku, a potom u Kanadu. Oženjen je Amerikankom Nicolle Howard[17] i otac dvije kćeri.