ডট গুণন

দুটি ভেক্টর (স্থানাঙ্ক সহ) ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$ ও ${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$ , হলে,

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$

উদাহরণ

• ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্কতলে দুটি বিন্দু ${\displaystyle [1,3,-5]}$ ও ${\displaystyle [4,-2,-1]}$ হলে তাদের অবস্থান ভেক্টরের ডট গুণফল হবে:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$ যেখানে ${\displaystyle a{^{\mathsf {T}}}}$ হল ${\displaystyle \mathbf {a} }$ এর ট্রান্সপোজ রূপ।

উদাহরণ (পূর্বের তথ্য একই রেখে)

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,}$$

ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {a} }$ এর মান চিহ্নিত হয় ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$ দ্বারা। তাই দুইটি ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ও ${\displaystyle \mathbf {b} }$ হলে তাদের ডট গুণফল হবে:^[২][৩]

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta }$$

যেখানে, ${\displaystyle \theta }$ হল ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ও ${\displaystyle \mathbf {b} }$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

ডট গুণন তবেই সম্ভব যখন ${\displaystyle \mathbf {a} }$ , ${\displaystyle \mathbf {b} }$ , ও ${\displaystyle \mathbf {c} }$ প্রকৃত ভেক্টর এবং ${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle c_{1}}$ ও ${\displaystyle c_{2}}$ হল স্কেলার।

বিনিময় বৈশিষ্ট্য

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$$ সংজ্ঞা থেকে (${\displaystyle \theta }$ হল ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ও ${\displaystyle \mathbf {b} }$ এর মধ্যবর্তী কোণ):^[৪] $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }$$

বিচ্ছেদ বৈশিষ্ট্য (ভেক্টর যোগের জন্য)

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$$

দ্বিরৈখিকতা

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )}$$

স্কেলার গুণ

${\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

সংযোগ নিয়ম মেনে চলে না

কারণ স্কেলার রাশি ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ ও একটি ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {c} }$ এর মধ্যে ডট গুণন সম্ভব নয়। ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$ বা ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}$ উভয়ই অর্থহীন।^[৫]

লম্বতা

দুটি অশূন্য ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ও ${\displaystyle \mathbf {b} }$ পরস্পর লম্ব হলে ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0}$

দুটি ভেক্টরের ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ ও ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ যাদের মধ্যবর্তী কোণ ${\displaystyle \theta }$ (ছবিতে দেখুন), তৃতীয় বাহুর সাথে তারা একটি ত্রিভুজ তৈরী করেছে, যা হল ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$ . ধরি ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ ও ${\displaystyle c}$ হল যথাক্রমে ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ , ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ , এবং ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$ এর দৈর্ঘ্য।

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$

এটিই কোসাইন নিয়ম।

স্কেলার ত্রৈধ গুণন

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

ভেক্টর ত্রৈধ গুণন

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\,\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,\mathbf {c} .}$

• ক্রস গুণন

উইকিমিডিয়া কমন্সে ডট গুণন সংক্রান্ত মিডিয়া রয়েছে।

• Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Inner product", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
• Explanation of dot product including with complex vectors
• "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

টেমপ্লেট:রৈখিক বীজগণিত