Скобките на Поасон са важен оператор в хамилтоновата механика, играещ централна роля в описанието на времевата еволюция на динамичните системи във формулировката на Хамилтон. В по-общ планк, скобките на Поасон се използват при дефинирането на алгебра на Поасон, а многообразието на Поасон е неин частен случай. Те са наречени на френския математик Симеон Дени Поасон.
В обобщените координати на фазовото пространство, скобките на Поасон на две функции и се записват:
Уравнения на движението
Пълният диференциал на дадена функция във фазовото пространство може още да бъде записан със скобките на Поасон. Нека е функция, дефинирана върху дадено многообразие. Пълният ѝ диференциал има вида:
Ако заместим в горното уравнение обобщените координати и с техните изрази в уравненията на Хамилтон-Якоби ( и ), получаваме:
Следователно, изменението с времето на дадена функция f, дефинирана на симплектично многообразие може да бъде описано от поток. В запис, независим от избора на координатна система, изразът на пълния диференциал на функцията придобива вида:
Операторът се нарича още Оператор на Лиувил.
Константи на движението
Дадена интегрируема система може да притежава константи на движението, различни от енергията. Такива константи на движението трябва да комутират с хамилтониана в смисъла на скобките на Поасон. Нека е константа на движението. Следователно, наредената двойка е траектория, или двойка решения на уравненията на Хамилтон-Якоби, а нейният пълен диференциал е равен на нула: . Като заместим с уравненията на Хамилтон-Якоби, получаваме:
Това уравнение е познато като уравнение на Лиувил. Теоремата на Лиувил гласи, че времевата еволюция на дадена динамична система се определя от уравнението на Лиувил.
Общи свойства
Скобките на Поасон притежават свойството антисиметричност[1](Понякога наричано и „кососиметричност“ [2]):
Скобките на Поасон удовлетворяват тъждеството на Якоби:
Обобщените координати са свързани с уравнението:
Уравнения на Хамилтон-Якоби
Нека е хамилтониана на разглежданата система. Уравненията на Хамилтон-Якоби могат да бъдат записани със скобките на Поасон:
и:
Квантов еквивалент
В квантовата механика, комутаторът на две наблюдаеми X и Y е пропорционален на техните скобки на Поасон:
където с е обозначен комутаторът. По този начин получаваме комутационните съотношение на наблюдаемите във формализма на Хайзенберг. Същата стратегия може да бъде приложена при квантуването на електричното поле, например.
Източници
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. – М.: Физматгиз, 1958. („Теоретическая физика“, том I).