Изродено състояние

В някои случаи, могат да се постигнат аналитични резултати по-лесно при изучаването на едномерни системи. За квантова частица с вълнова функция ${\displaystyle |\psi \rangle }$ , движещ се в едномерен потенциал ${\displaystyle V(x)}$ , независимото от времето уравнение на Шрьодингер може да бъде записано като:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi }$

Тъй като това е обикновено диференциално уравнение, съществуват най-много две независими собствени функции за даден енергия ${\displaystyle E}$ , така че степента на изроденост никога не надхвърля 2. Може да бъде доказано, че в едно измерение няма изродени свързани състояния за нормализируеми вълнови функции. Достатъчно условия за частично непрекъснат потенциал ${\displaystyle V}$ и енергия ${\displaystyle E}$ е наличието на две реални числа ${\displaystyle M,x_{0}}$ с ${\displaystyle M\neq 0}$ , така че за ${\displaystyle \forall x>x_{0}}$ имаме ${\displaystyle V(x)-E\geq M^{2}}$ .^[3]