Вариационно смятане
Вариационно смятане (вариационни изчисления) или вариационен анализ, като дял от математическия анализ, изучава малките вариации във функциите и функционалите,
и методите за намиране на техни екстремуми – maxima и minima (локални и глобални) като се изобразяват математически набор от техните функции към реални числа, като център на тези изчисления е уравнението на Ойлер – Лагранж
- ,
за
като уравнение на Лагранж от класическата механика.
Функционал е изображение между множество от функции и множество от числа. Типичен пример за функционал е определеният интеграл. Вариационното смятане намира широко приложение – от чисто практични дисциплини като оптиката – до по-нестандартни, като топологията.
Задачи по намиране на екстремуми на функции, криви и други, които минимизират даден функционал, възникват в геометрията и механиката. Вариационното смятане е започнато през XVII век от Ойлер и Лагранж [1]. Исторически първата задача на вариационното смятане е задача за брахистохроната, поставена още от Галилей. През началния период са решени много конкретни задачи. Особено значение при участието на учени като Готфрид Лайбниц и Йохан Бернули има задачата за геодезичните линии и изопериметричната задача. Понятието геодезична линия обобщава понятията права линия и отсечка от евклидовата геометрия, когато тримерното евклидово пространство се заменя с повърхнина или пространство от по-общ вид. По-точно геодезичните линии, които съответстват на понятието права линия и се касае за функция, чиято дефиниционна област не се състои от числа, а е множество от обекти, напр. определен вид криви, функции, някакви състояния на дадена механична система.
Вариационното смятане е съществено свързано с класическата механика. Връзката се съдържа в т. нар. вариационни принципи на механиката. Съвременното вариационно смятане има две главни направления: глобално вариационно смятане и теория на оптималното управление. Първото е свързано с топологията. Развива се през XX век (затворени геодезични линии върху риманово многообразие, неравенства на Морс). Другото направление възниква след Втората световна война и в зародишна форма е подбудено от инженерни проблеми на ракетна техника; сега е в разцвета си. Обобщено е в различни направления, напр. във връзка с диференциалната геометрия върху диференцируеми многообразия и многомерни повърхнини, във връзката със случайните процеси (клон от теорията на вероятностите). Много съвременни математици от 60-те години на XX в. – американският математик Р. Белман, съветският Л. Понтрягин и други имат принос в тази дисциплина.
Източници
Библиография
- Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1 – 98.
- Roubicek, T.: "Calculus of variations". Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, Шаблон:Isbn, pp. 551 – 588.
- Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.
Външни препратки
- Моисеев Н.Н., глав. ред. Прохоров А.М. Вариационное исчисление // Большая советская энциклопедия. 3 изд. Т. 4 (от 30), Брасос – Веш. Москва, Издателство „Съветска енциклопедия“, 1971. с. 303 – 305. Посетен на 29 март 2017. (на руски)((ru))