Ранг матрыцы
Рангам сістэмы радкоў (слупкоў) матрыцы з радкоў і слупкоў называецца максімальны лік лінейна незалежных радкоў (слупкоў). Некалькі радкоў (слупкоў) называюцца лінейна незалежнымі, калі ні адзін з іх не выражаецца лінейна праз іншыя. Ранг сістэмы радкоў заўсёды роўны рангу сістэмы слупкоў, і гэты лік называецца рангам матрыцы.
Ранг матрыцы — найвышэйшы з парадкаў мінораў гэтай матрыцы, няроўных нулю.
Ранг матрыцы — размернасць вобраза лінейнага аператара, якому адпавядае матрыца.
Звычайна ранг матрыцы абазначаецца () або .Абодва абазначэння прыйшлі да нас з замежных моў, таму і ўжывацца могуць абодва. Апошні варыянт уласцівы для англійскай мовы, у той час як першы — для нямецкай, французскай і шэрага іншых моў.
Азначэнне
Хай — прамавугольная матрыца.
Тады па азначэнні рангам матрыцы з’яўляецца:
- нуль, калі
— нулявая матрыца;
- лік
, дзе
— мінор матрыцы
парадку
, а
— аблямоўваючы яго мінор парадку
, калі яны існуюць.
Тэарэма (пра карэктнасць вызначэння рангаў). Хай усе міноры матрыцы |
Звязаныя азначэнні
- Ранг
матрыцы
памеру
называюць поўным, калі
.
- Базісны мінор матрыцы
— любы ненулявы мінор матрыцы
парадку
, дзе
.
- Радкі і слупкі, на скрыжаванні якіх знаходзіцца базісны мінор, называюцца базіснымі радкамі і слупкамі. (Яны вызначаны неадназначна ў сілу неадназначнасці базіснага мінора.)
Уласцівасці
- Тэарэма (аб базісным міноры): Няхай
— базісны мінор матрыцы
, тады:
- базісныя радкі і базісныя слупкі лінейна незалежныя;
- любы радок (слупок) матрыцы
ёсць лінейная камбінацыя базісных радкоў (слупкоў).
- Следства:
- Калі ранг матрыцы роўны
, то любыя
радкоў ці слупкоў гэтай матрыцы будуць лінейна залежныя.
- Калі
— квадратная матрыца, і
, то радкі і слупкі гэтай матрыцы лінейна залежныя.
- Хай
, тады максімальная колькасць лінейна незалежных радкоў (слупкоў) гэтай матрыцы роўная
.
- Калі ранг матрыцы роўны
- Тэарэма (аб інварыянтнасці рангу пры элементарных пераўтварэннях): Увядзём абазначэнне
для матрыц, атрыманых адна з адной элементарнымі пераўтварэннямі. Тады справядліва сцвярджэнне: Калі
, то іх рангі роўныя.
- Тэарэма Кронекера — Капелі: Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў сумесная тады і толькі тады, калі ранг яе асноўнай матрыцы роўны рангу яе пашыранай матрыцы. У прыватнасці:
- Колькасць галоўных пераменных сістэмы роўна рангу сістэмы.
- Сумесная сістэма будзе вызначанай (яе рашэнне адзіным), калі ранг сістэмы роўны ліку ўсіх яе зменных.
Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы
Няхай — матрыца памеру
над полем
(або
). Няхай
— лінейнае пераўтварэнне, якое адпавядае
ў стандартным базісе; гэта значыць, што
. Ранг матрыцы
— гэта размернасць вобласці значэнняў пераўтварэння
.
Метады
Існуе некалькі метадаў знаходжання рангу матрыцы:
- Метад элементарных пераўтварэнняў
- Ранг матрыцы роўны ліку ненулявых радкоў у матрыцы пасля прывядзення яе да ступеньчатай формы пры дапамозе элементарных пераўтварэнняў над радкамі матрыцы.
- Метад аблямоўваючых мінораў
- Няхай ў матрыцы
знойдзены ненулявы мінор
-га парадку
. Разгледзім усе міноры
-га парадку, якія ўключаюць у сябе (аблямоўваючы) мінор
; калі ўсе яны роўныя нулю, то ранг матрыцы роўны
. У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца.
Літаратура
- Эрнест Винберг. Курс алгебры (руск.) (5 верасня 2017). Праверана 24 жніўня 2018.