Біномнае размеркаванне Фунцыя імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} Параметры n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}} – колькасць выпрабаванняў p ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle p\in [0,1]} – імавернасць поспеху кожнага выпрабавання q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} – імавернасць няўдачы выпрабаванняНосьбіт функцыі [en] k ∈ { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,n\}} – колькасць паспяховых выпрабаванняўФункцыя імавернасці ( n k ) p k q n − k {\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}} Функцыя размеркавання ∑ i = 0 ⌊ k ⌋ ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}} або I 1 − p ( n − ⌊ k ⌋ , 1 + ⌊ k ⌋ ) {\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )} (рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя )Матэматычнае спадзяванне n p {\displaystyle np} Медыяна ⌊ n p ⌋ {\displaystyle \lfloor np\rfloor } або ⌈ n p ⌉ {\displaystyle \lceil np\rceil } Мода ⌊ ( n + 1 ) p ⌋ {\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor } або ⌈ ( n + 1 ) p ⌉ − 1 {\displaystyle \lceil (n+1)p\rceil -1} Дысперсія n p q {\displaystyle npq} Каэфіцыент асіметрыі q − p n p q {\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}} Каэфіцыент эксцэсу 1 − 6 p q n p q {\displaystyle {\frac {1-6pq}{npq}}} Энтрапія [en] 1 2 log 2 ( 2 π e n p q ) + O ( 1 n ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pi enpq)+O\left({\frac {1}{n}}\right)} у шэнанах [en] . Для натаў [en] , лагарыфм мусіць быць натуральным .Утваральная функцыя момантаў [en] ( q + p e t ) n {\displaystyle (q+pe^{t})^{n}} Характарыстычная функцыя [en] ( q + p e i t ) n {\displaystyle (q+pe^{it})^{n}} Імавернасная ўтваральная функцыя G ( z ) = [ q + p z ] n {\displaystyle G(z)=[q+pz]^{n}} Інфармацыя Фішэра [en] g n ( p ) = n p q {\displaystyle g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}} (для вызначанага n {\displaystyle n} )
Біномнае размеркаванне з параметрамі n {\displaystyle n} і p {\displaystyle p} — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей , якое апісвае колькасць паспяховых зыходаў пры правядзенні n {\displaystyle n} незалежных выпрабаванняў , кожнае з якіх мае два магчымыя зыходы: поспех (з імавернасцю p {\displaystyle p} ) і няўдача (з імавернасцю q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} ). Кожнае такое выпрабаванне завецца выпрабаваннем Бэрнулі [en] , а шэраг зыходаў — працэсам Бэрнулі [en] . Для аднаго выпрабавання ( n = 1 {\displaystyle n=1} ) біномнае размеркаванне адпавядае размеркаванню Бэрнулі [1] :81 . Біномнае размеркаванне ляжыць у падмурку біномнага крытэрыю [en] статыстычнай значнасці [en] [2] .
Біномнае размеркаванне часта выкарыстоўваецца для мадэлявання [en] колькасці «паспяховых» элементаў у выбарцы [en] з вяртаннем [en] памерам n {\displaystyle n} з генеральнай сукупнасці памерам N {\displaystyle N} . Калі робіцца адбор без вяртання, выпрабаванні не незалежныя, і мадэляваць такую сітуацыю трэба з дапамогай гіпергеаметрычнага размеркавання . Аднак калі N {\displaystyle N} значна большае за n {\displaystyle n} , біномнае размеркаванне добра яго набліжае і таму часта выкарыстоўваецца.
Выпадковая велічыня X {\displaystyle X} , якая мая біномнае размеркаванне з параметрамі n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } і p ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle p\in [0,1]} запісваецца як X ∼ B ( n , p ) . {\displaystyle X\sim B(n,p).} Імавернасць назірання k {\displaystyle k} поспехаў у n {\displaystyle n} выпрабаваннях Бэрнулі задаецца функцыяй імавернасці :
p X ∼ B ( n , p ) ( k ) = P ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k {\displaystyle p_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}} для k = 0 , 1 , 2 , … , n {\displaystyle k=0,1,2,\dots ,n} , дзе
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} — біномны каэфіцыент [en] , ад якога і паходзіць імя размеркавання. Формула тлумачыцца наступным чынам: імавернасць назірання k {\displaystyle k} поспехаў роўная p k {\displaystyle p^{k}} , а n − k {\displaystyle n-k} няўдач адбываюцца з імавернасцю ( 1 − p ) n − k {\displaystyle (1-p)^{n-k}} . Пры гэтым паспяховымі могуць быць якія-кольвек k {\displaystyle k} з шэрагу n {\displaystyle n} выпрабаванняў, і існуе ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} спалучэнняў з n {\displaystyle n} выпрабаванняў па k {\displaystyle k} .
Функцыя размеркавання для k ∈ [ 0 , n ] {\displaystyle k\in [0,n]} мае выгляд:
F X ∼ B ( n , p ) ( k ) = P ( X ≤ k ) = ∑ i = 0 ⌊ k ⌋ ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i , {\displaystyle F_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},} дзе ⌊ k ⌋ {\displaystyle \lfloor k\rfloor } — цэлая частка [en] ад k {\displaystyle k} .
Няхай манетка мае імавернасць 0.3 выпасці рэшкай. Імавернасць пабачыць 4 рэшкі пры яе шасціразовым падкіданні роўная
p B ( 6 , 0.3 ) ( 4 ) = ( 6 4 ) 0.3 4 ( 1 − 0.3 ) 6 − 4 = 0.059535. {\displaystyle p_{B(6,0.3)}(4)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.} Няхай X ∼ B ( n , p ) . {\displaystyle X\sim B(n,p).} Тады можна запісаць X = ∑ i = 1 n X i , {\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i},} дзе кожная велічыня X i {\displaystyle X_{i}} мае размеркаванне Бэрнулі з параметрам p {\displaystyle p} і ўсе X i {\displaystyle X_{i}} незалежныя адна ад адной. Ведаючы характарыстыкі размеркавання Бэрнулі ( E [ X i ] = p {\displaystyle (\mathbb {E} [X_{i}]=p} і V a r ( X i ) = p ( 1 − p ) ) {\displaystyle Var(X_{i})=p(1-p))} , можна знайсці матэматычнае спадзяванне і дысперсію біномнага размеркавання[1] :118 :
E [ X ] = E [ ∑ i = 1 n X i ] = ∑ i = 1 n E [ X i ] = n p , {\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} [X_{i}]=np,} V a r ( X ) = V a r ( ∑ i = 1 n X i ) = ∑ i = 1 n V a r ( X i ) = n p ( 1 − p ) = n p q . {\displaystyle Var(X)=Var\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})=np(1-p)=npq.} Размеркаванне Бэрнулі — асобны выпадак біномнага размеркавання для n = 1 {\displaystyle n=1} [1] :81 . Іншымі словамі, велічыня X ∼ B ( 1 , p ) {\displaystyle X\sim B(1,p)} мае такое ж размеркаванне, як і велічыня X ∼ B e r n o u l l i ( p ) . {\displaystyle X\sim Bernoulli(p).}
Паліномнае размеркаванне — многавымернае абагульненне біномнага. Яно дазваляе мадэляваць сітуацыі, калі магчымых зыходаў выпрабавання больш за два.
Зноскі