Адмоўнае біномнае размеркаванне

Няхай праводзіцца серыя незалежных выпрабаванняў Бернулі: кожнае выпрабаванне мае два магчымыя зыходы, званыя «поспехам» і «няўдачай». У кожным выпрабаванні імавернасць поспеху роўная ${\displaystyle p}$ , а імавернасць няўдачы ${\displaystyle 1-p}$ . Выпрабаванні праводзяцца да той пары, пакуль не адбудзецца прадвызначаная колькасць ${\displaystyle r}$ поспехаў. Тады размеркаванне імавернасцей, якому падпарадкоўваецца колькасць няўдач сярод праведзеных выпрабаванняў, завецца адмоўным біномным размеркаваннем або размеркаваннем Паскаля, і адпаведная выпадковая велічыня абазначаецца як

${\displaystyle X\sim \operatorname {NB} (r,p).}$

Функцыя імавернасці адмоўнага біномнага размеркавання мае выгляд

${\displaystyle p_{X\sim \operatorname {NB} (r,p)}(k)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}.}$

Значэнне ў дужках — гэта біномны каэфіцыент^[en], роўны

${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)!}{(r-1)!\,(k)!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}},}$

дзе ${\displaystyle k}$ няўдач выбіраюцца з ${\displaystyle k+r-1}$ выпрабавання, а не з ${\displaystyle k+r}$ , бо апошняе выпрабаванне паспяховае і не можа быць няўдачай паводле азначэння.

Гэты біномны каэфіцыент можна запісаць як (абагульнены) біномны каэфіцыент з адмоўнай верхняй часткай, таму размеркаванне і завецца адмоўным біномным:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}=(-1)^{k}{\frac {\overbrace {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)} ^{k{\text{ množnikaŭ}}}}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}.\end{aligned}}}$

Геаметрычнае размеркаванне — асобны выпадак адмоўнага біномнага размеркавання, калі колькасць поспехаў ${\displaystyle r}$ роўная 1^[2]:84.

Выпадковую велічыню з адмоўным біномным размеркаваннем можна ўявіць у выглядзе сумы ${\displaystyle r}$ незалежных выпадковых велічынь з геаметрычным размеркаваннем^[2]:120.