نسبة تبادلية
في الهندسة الرياضية، النسبة التبادلية[1][2][3] (بالإنجليزية: Cross-ratio) هي نسبةٌ مُرتبطةٌ بأربعِ نقاطٍ مُتسامتة. إذا كانت النقاط على استقامةٍ واحدةٍ، فإنَّ نسبتهم التبادلية تُعرّف كالآتي:[4]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Projection_geometry.svg/220px-Projection_geometry.svg.png)
حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. إذا كانت واحدة من النقاط الأربع نقطةً في اللانهاية، فإنَّ المسافتين الواصلتين بهذه النقطة تُحذف من الصيغة. تُعرّفُ النقطة D على أنّها المرافق التوافقي للنقطة C بالنسبة لـA و B.
دائرة أبولونيوس
تُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية: . إذا كانت النقاط
مُتسامتةً في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط
التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد.
. بمعنىً آخر:
هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط
إذا وفقط إذا كان معيار النسبة التبادلية
مساوياً للواحد.[5][6][7]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Apollonius_circle_definition_labels.svg/220px-Apollonius_circle_definition_labels.svg.png)
النسب التوافقية
تُعرّفُ النقطة على أنّها المرافق التوافقي للنقطة
بالنسبة لـ
و
. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي
. وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية.[4] النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ.[4] في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط
«حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي
). إنَّ تقاطعَ حُزمةٍ توافقيةٍ مع الدائرة يُنتجُ رباعياً توافقياً.[8]
معرض صور
- النسبة التناغمية في الهندسة الإسقاطية ، هي النسبة الموجودة بين أربع نقاط متسامتة (A,B,C,D)، التي علاقتها التبادلية تسمى رباعية تناغمية. يمكن إنشاء هذه الرباعية بدءًا من رباعي أضلاع M,N,L,K