مستخدم:لوقا/ملعب 37

يوضح الجدول التالي تسميات مختلفة للدوال الست، بالإضافة إلى التسميات الإنجليزية والفرنسية ومجال تعريفهن ومستقراتهن (المجال المقابل).

التسمية العربية[1][8][9]	التسمية الإنجليزية[4]	التسمية الفرنسية[4]	التدوين بالحروف العربية [10][11]	التدوين بالحروف اللاتينية [1][12][13][14]	مجال التعريف[ملاحظة 4][15]	مستقر[15]
الجَيْب، الجَيْب المستوي	Sine	Sinus	جا، جب	sin	جميع الأعداد الحقيقية	${\displaystyle [-1,1]}$
جَيْب التَمَام	Cosine	Cosinus	جتا، تجب	cos	جميع الأعداد الحقيقية	${\displaystyle [-1,1]}$
الظِل، الظل الأول، الظل القائم أو المنتصب أو المعكوس	Tangent	Tangente	ظا، ظل	tan	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$	جميع الأعداد الحقيقية
ظِل التمام، الظل الثاني أو المبسوط أو المستوي	Cotangent	Cotangente	ظتا، تظل	cot [ملاحظة 5]	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle k\pi }$	جميع الأعداد الحقيقية
القاطع، قطر الظل الأول	Secant	Sécante	قا	sec	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$	${\displaystyle ]-\infty ,1]\cup [1,+\infty [}$
قاطع التمام، قطر الظل الثاني، قطر الظل	Cosecant	Cosécante	قتا، تقا	csc [ملاحظة 6]	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle k\pi }$	${\displaystyle ]-\infty ,1]\cup [1,+\infty [}$

استُمِدّت الكلمة الإنجليزية "Sine" ^{[ملاحظة 7]} من الكلمة اللاتينية "Sinus" التي تعني «انحناء، خليج»، وبشكل أكثر تحديداً «الطية المعلقة للجزء العلوي للّباس الروماني تُوجة»، «طَوْق الثَوْب»، التي اختيرت على أنها ترجمة للكلمة العربية الأصيلة «جَيْب» -التي تعني "طوق القميص"- في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللغة اللاتينية للقرون الوسطى.^{[ملاحظة 8]} كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للكلمة العربية «جَيْب» التي هي تحريف للكلمة جِيبَا التي نشأت في حد ذاتها من الكلمة السنسكريتية जीवा / jīvā التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها ज्या / jyā إلى «وتر قوس المحارب»؛^[16] حيث استُعمل مصطلح «جَيْب» في الأصل لوصف خط مستقيم مرسوم عموديًّا من أحد طرفي قوس على خط مستقيم آخر يمر بالطَّرف الآخر، وهو يمثل نصف وتر ضعف القوس؛^[17] أما علاقتها بجيب الزاوية، فجيب الزاوية هو عبارة عن مقدار هذا الخط المستقيم في دائرة الوحدة، كما هو موضّح في الشكل (1.ب). في القرن الحادي عشر، شرح أبو الريحان البيروني ذلك في كتابه القانون المسعودي:^[18]

أما عن الاسم العربي لدالة الـ«ظل»، فقد جاء من مقدار ما يصنعه ظل المقياس على سطح أفقي أثناء سقوط الضوء على المقياس بزاوية معيّنة، فنقول أن طول الظل تساوي عدة أضعاف طول المقياس،^[16] وعند تمثيل الرياضياتيين المسلمين للدالة على دائرة الوحدة باعتبار نصف قطر الدائرة مقياسًا، فكانت النتيجة هي أنها عبارة عن خط مستقيم يمُس الدائرة، لهذا السبب، أطلق الغربيون (منهم توماس فينك) على الظل اسم "Tangent" التي أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني «يمُس».^[19][20]

بنفس الطريقة مثل طريقة دالة الظل، كانت النتيجة هي أن قيمة قُطْر الظِّل (تسمية دالة القاطع في عصر الحضارة الإسلامية) هي عبارة عن خط مستقيم يقطع الدائرة، لذا أطلق الغربيون عليه اسم «secant»؛^[20] استمدت هذه الكلمة من اللاتينية "secans" التي تعني «يَقْطَع».^[19]

أما عن بادئة "co-" (Cosine، Cotangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم إدموند غونتر الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لـ sinus complementi التي استخدمت للإشارة إلى «جيب الزاوية المتممة لزاوية»، مثلاً يقال في الهندسة أن الزاوية المتممة للزاوية 30 درجة في المثلث قائم الزاوية هي 60 درجة وذلك لأن مجموعهما يعطي 90 درجة؛^[21] أما عن التسمية العربية «جيب التمام»، فهي استخدمت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث أن كلمة «التمام» عند العلماء تعني شيء متمم؛^[16] التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या «كُوتِي-جِيَا» بمعنى «جيب القوس المتمم لقوس»، حيث يعني المقطع الأول «سِيَة القَوْس»^{[ملاحظة 9]} أو «نهاية» أو «طَرَف» بشكل عام، ولكنها تعني في حساب المثلثات «متمم القوس» أو بمعنى آخر «القوس المقابل للزاوية المتممة لزاوية»، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر أنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.^[16][22]

عُثر على دليل على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في علم الفلك، في العديد من النصوص التي تعود إلى ما قبل التاريخ، بما في ذلك تلك الموجودة في اليونان ومصر وربما في بلاد الرافدين.

استنادًا إلى أحد التفسيرات للوحة المسمارية بليمبتون 322 (حوالي 1900 قبل الميلاد)، أكد البعض أن البابليين القدماء لديهم جدول القواطع. ومع ذلك، هناك الكثير من الجدل حول ما إذا كان جدول ثلاثيات فيثاغورس، أو حل المعادلات التربيعية، أو جدول مثلثي.^[23][24]

تعد مبرهنة طاليس من أقدم الأعمال المتعلقة بحساب المثلثات، درس طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، وتوصل إلى طريقة جديدة لحل مشكلة حساب ارتفاع الهرم خوفو، والتي عرفت فيما بعد باسم مبرهنة طاليس. يمكن اعتبار مبرهنة فيثاغورس أيضا أنها حجر الأساس لحساب المثلثات.^[25] أنشأ الفلكي والرياضياتي اليوناني أبرخش (180-125 قبل الميلاد) أول جدول مثلثي، وهو جدول خاص بدالة الوتر، لهذا السبب أطلق عليه اسم «أبي حساب المثلثات». وضع منيلاوس الإسكندري أساسا للمثلثات الكروية.^[26] في القرن الثاني ميلادي، أنشأ عالم الفلك اليوناني بطليموس الإسكندري جدولا مثلثيا مفصلا للأوتار في الكتاب 1، الفصل 11 من المجسطي.^[27]

كانت دراسة الدوال المثلثية شائعة أيضًا في الهند. على سبيل المثال، في القرن الرابع والخامس الميلادي، في كتاب «سوريا سِدْهانْتا»، استُخدِم جدول لأنصاف الأوتار بدلاً من جدول الأوتار في علم الفلك التي تعادل حاليا دالة الجيب. عرّفت مجموعة من الكتب العلمية «سِدْهانْتا» أولاً الجيب علاقةً حديثة بين نصف زاوية ونصف وتر، وعرفت أيضًا جيب التمام، وسهم الزاوية (1 - جيب تمامها)، ودالة الجيب العكسية.^[26] يمكن إسناد دالة الجيب مع جيب التمام وسهم الزاوية إلى الدوال "جيا" و"كوتي جيا" و"أوتكراما جيا" التي استخدمها الهنود في علم الفلك في الحقبة الجوبتية، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية.^[26][28]

كان بهاسكارا الثاني واحد من الأوائل الذين اكتشفوا النتائج المثلثية لـ ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$ و ${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$ ، مثل: ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}$ ، كان ذلك في القرن الثاني عشر.^[16]

خطا مادهافا السانغماغرامي، في حوال عام 1400، خطوات أولى ومهمة في تحليل الدوال المثلثية بدلالة المتسلسلات غير المنتهية (طالع متسلسلات مادهافا).^[29]

خلال القرن التاسع الميلادي، كانت الدوال المثلثية الست المستعملة في العصر الحديث جزءاً من الرياضيات المستعملة في الحضارة الإسلامية، كما كان قانون الجيب معروفاً، وكان يستعمل في معضلة حل المثلثات.^[32] باستثناء دالتي الجيب وجيب التمام التي اعتمدت من الهنود،^{[ملاحظة 10]} اكتُشِفَت الدوال المثلثية الأربع الأخرى من قبل علماء الرياضيات المسلمين، بما في ذلك الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام؛ حيث تنسب أقدم الأعمال المتبقية إلى الخوارزمي وحبش الحاسب اللذين اعتبرا الدوال الأربعة الأخيرة.^[16]

في أوائل القرن التاسع الميلادي، أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام وأول جدول للظلال، كما أنه أنتج نسخة معدلة من زيج السندهند (تتضمن جدولاً للجيوب) التي استعملت لحل المعضلات الفلكية.في القرن نفسه، قام حبش الحاسب بإنتاج أول جدول لظل التمام.^{[33][ملاحظة 11]}

في البداية، عُرّفت الدوال الأربعة الأخيرة بطريقة تختلف عن الرياضيات الحديثة. حيث اعتبرت ظل التمام، التي كانت تسمى «الظل المستوي» أنذاك، طول خيال المقياس العمودي ارتفاعه 12 (أحيانًا 7) أصابع؛ بينما اعتبرت دالة الظل، التي كانت تسمى «الظل المعكوس»، طول خيال المقياس الأفقي؛ في الأصل، استُخدمت هذه المفاهيم للحساب بالمزولة.^[34] كان يسمى وترا المثلث القائم (القطعة AO في الصورة المرفقة) «قطر الظل الأول» (في الحالة الثانية) و«قطر الظل الثاني» (في الحالة الأولى) اللذان يطلق عليهما الآن القاطع وقاطع التمام، على التوالي.^[35] في القرن العاشر ميلادي، قدم الفيلسوف وعالم الرياضيات الفارابي، في كتابه «شرح كتاب المجسطي»، تعريفات هذه الدوال الأربع بشكل مستقل عن المزولات، وقام بتعريفها مع الجيب وجيب التمام في الدائرة المثلثية البطلمية التي طول نصف قطرها 60 (نصف القطر معبر عنه بالنظام الستيني).^[36][37] وضع محمد بن جابر البتاني العلاقات الأساسية بين الدوال الست في القرن نفسه.^[38] تم تحقيق التوحيد النهائي من قبل أبو الوفاء البوزجاني في النصف الثاني من القرن العاشر، والذي استخدم لأول مرة دائرة الوحدة لتعريف الدوال المثلثية، كما هو الحال في الرياضيات الحديثة.^[39]

قام محمد بن جابر البتاني باكتشاف قانون جيب التمام للمثلثات الكروية.^[40] في القرن العاشر، اكتشف أبو الوفاء البوزجاني تلك المتطابقات المثلثية في شكلها الحالي، حيث عبر الرياضياتيون اليونانيون عنها بدلالة الأوتار:^[33]

ويقال عنه أنه أول من اكتشف قانون الجيب للمثلثات الكروية.^{[ملاحظة 12]}

طُوِّرت طريقة التثليث لأول مرة من قبل علماء الرياضيات المسلمين، الذين طبقوها على الاستخدامات العملية مثل مسح الأراضي والجغرافيا الإسلامية،^[41] كما وصفها أبو الريحان البيروني في كتابه القانون المسعودي في أوائل القرن الحادي عشر. أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث لقياس حجم الأرض والمسافات بين الأماكن المختلفة.^[42] في نهاية القرن الحادي عشر، حل عمر الخيام معادلات من الدرجة الثالثة عن طريق الحلول العددية التقريبية التي تم الحصول عليها عن طريق استيفاء الجداول المثلثية. في القرن الثالث عشر، اعتبر نصير الدين الطوسي لأول مرة حساب المثلثات تخصّصًا منفصلاً عن علم الفلك،^[43] وذكر في كتابه «شكل القطاع» قانوني الجيب أحدهما للمثلثات المستوية والآخر للمثلثات الكروية،^{[ملاحظة 13]} واكتشف قانون الظل للمثلثات الكروية.^[44]

في القرن الخامس عشر، قام غياث الدين الكاشي بالتعبير عن مبرهنة فيثاغورس المعممة، التي أصبحت تطلق عليها الآن «قانون جيب التمام»، بدلالة جيب التمام بعدما أنشئت جداول لها التي أتاحت له صياغة المبرهنة، والبرهنة عليها في كتابه مفتاح الحساب؛ لذلك، أطلق الفرنسيون على هذا القانون اسم «مبرهنة الكاشي» (بالفرنسية: Théorème d'Al-Kashi)‏ تكريما له؛^[45] وقدم بياناً صريحاً لهذا القانون في شكل مناسب للتثليث؛^[45][46] مع العلم أن هذه المبرهنة تم التعبير عنها سابقًا من قبل العالم اليوناني إقليدس في كتابه الأصول، ولكن عدم وجود الدوال المثلثية آنذاك وكذلك الجبر أدى إلى استعمال مجموع وفرق المساحات.^[45] قام الكاشي أيضًا بصياغة المتطابقة التالية: ${\displaystyle \sin 3\phi =3\sin \phi -4\sin ^{3}\phi \,\!}$ واستخدمها لحساب جيب الزاوية 1° بوضع ${\displaystyle \phi =1^{\circ }}$ و ${\displaystyle x=\sin 1^{\circ }}$ ثم حل المعادلة من الدرجة الثالثة المتحصل عليها، ووصل إلى 16 منزلة عشرية؛ هذه الصيغة معروفة عند الغربيين بـ«صيغة فييت» ونسبوها إلى فرانسوا فييت عن طريق الخطأ، ولكن الكاشي هو أول من أكتشف تلك الصيغة.^[47] وضع الرياضياتي وحاكم الدولة التيمورية ألغ بك جداول دقيقة للجيب والظل ووصل إلى 9 أرقام عشرية بعد الفاصلة في نفس الوقت تقريبًا.^[48]

لم يدرس العلماء الصينيون حساب المثلثات كثيرًا. درس العالمان الصينيان شين كوا وغوا شوجينغ الدوال المثلثية. على سبيل المثال، في القرن الحادي عشر، وجد شين كوا علاقة تقريبية لحساب طول القوس s بدلالة قطر الدائرة d وعمق القوس v وطول الوتر c:^[49] ${\displaystyle s=c+{\frac {2v^{2}}{d}}}$

كانت أطروحات العالم الألماني ريغيومونتانوس (خاصةً كتابه عن المثلثات De triangulis omnimodis في 1464) وتعليقاته على المجسطي لبطليموس، هي أصل نهضة حساب المثلثات في أوروبا.^[26] علّق في كتابه عن المثلثات:^[43]

استخدم عالم الرياضيات الفرنسي ألبير جيرار (1595 – 1632 م) لأول مرة الاختصارات sin، وcos، وtan في كتابه "Trigonométrie".^[50]

ربما كان الكتاب Opus palatinum de triangulis لغيورغ يواخيم ريتيكوس، طالب كوبرنيكوس، الأول في أوروبا الذي عرف الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكيوس فالنتينوس أوتو في عام 1596.^[51]

أُدخِلت المصطلحات "Tangent" و"Secant" لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك في كتابه "Geometria rotundi".^[52]

في مقال نُشر عام 1682، برهن غوتفريد لايبنتس على أن دالة الجيب sin x ليست بدالة جبرية ل x، أي أنها دالة متسامية.^[53]

كانت معظم مقدمة ليونهارت أويلر في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عرفها متسلسلاتٍ لانهائية ووضع صيغة أويلر، وعرفها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).^[26]

في ستينيات القرن الثامن عشر، اخترع الإيطالي فينتشنزو ريكاتي الدوال الزائدية، وهي تلك الدوال التي تشبه لحدٍ كبيرٍ الدوال المثلثية.^[54]

هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر والسهم (يطلق عليها أيضا اسم «الجيب المعكوس»^[55]) وسهم التمام ونصف السهم،^[56] والقاطع الخارجي وقاطع التمام الخارجي.^[57]

الدرجة: يعود استخدامها إلى عصور قديمة. تُحسبُ هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزءا متساويا، يشار إليها بقيمة متبوعة بدائرة صغيرة علوية.

الراديان أو الزاوية نصف القطرية أو التقدير الدائري: يساوي الزاوية المقابلة لقوس طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها 2π راديان.^[58][59] هناك وحدة مشتقة من الراديان وهي الميليراديان، تُعرَّف على أنها جزء من الألف من 1 راديان؛ تُستَخدَم الميليراديان في ضبط الرؤية عند استخدام السلاح الناري.^[60]

الغراد: تعادل 1/400 من قياس الدائرة الكاملة، أو 100 جزء من الزاوية القائمة، يشار إليها بقيمة متبوعة بحرف "g" صغير علوي.^[61]

الدورة: تعادل 360° أو 2π راديان.

دقيقة وثانية القوس: هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في نظام الاحداثيات الجغرافية.^[62]

• دقيقة القوس: تساوي 1/60 درجة أي 0.016°،^{[ملاحظة 14]} يشار إليها بقيمة متبوعة بالبرايم (').
• ثانية القوس: تساوي 1/3600 درجة أي 0.00027°،^{[ملاحظة 14]} يشار إليها بقيمة متبوعة بعلامة التنصيص (").

في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس الزاوية. لهذا الغرض، كل الوحدات الزاوية مناسبة، ويتم قياس الزوايا في أغلب الحالات بالدرجات.^[63]

عند استخدام دالة مثلثية في حساب التفاضل والتكامل، فإن متغيرهم ليست عمومًا زاوية، لكنه بالأحرى عدد حقيقي. في هذه الحالة، من الملائم أكثر التعبير عن المتغير المثلثي طولَ قوس دائرة الوحدة المحددة بزاوية رأسها مركز الدائرة. لذلك، يُستخدم الراديان وحدةً للزاوية.^[58][63][64]

ميزة كبيرة للراديان هي أن العديد من الصيغ تكون أبسط بكثير عند استخدامها، عادة كل الصيغ المتعلقة بالمشتقات والتكاملات.^[63]

هذا هو بالتالي اصطلاح عام، عندما تكون وحدة الزاوية غير محددة بوضوح، يتم التعبير دائمًا عن متغيرات الدوال المثلثية بالراديان.

يوضح الشكل المقابل مثلثًا قائما ^{[ملاحظة 15]} يتكون من ثلاثة أضلاع a و b و c وزوايا A و B و C. الزاوية C قياسها ${\displaystyle 90^{\circ }}$ وزاويتان أخريان حادتان ومتتامتان، بمعنى آخر، مجموع قياس الزاويتين يساوي ${\displaystyle 90^{\circ }}$ أو π/2 راديان.

يسمى الضلع المقابل للزاوية C الوتر (كما هو موضح في الشكل المقابل).عند اعتبار الزاوية A، يسمى الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة بالضلع المجاور للزاوية A (الضلع AC) والضلع المقابل للزاوية A (الضلع BC).

تعرف الدوال المثلثية الرئيسية للزاوية A بـ:^[1][65]

• جيب الزاوية: هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر. أي حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية على وتر المثلث القائم الزاوية، بمعنى آخر: ${\displaystyle \sin A={\frac {a}{\,c\,}}}$
• جيب تمام الزاوية: هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى وتر المثلث، بتعبير آخر: ${\displaystyle \cos A={\frac {b}{\,c\,}}}$
• ظل الزاوية: هو نسبة الضلع المقابل للزاوية إلى الضلع المجاور لها، أي:

${\displaystyle \tan A={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {a}{\,c\,}}\times {\frac {c}{\,b\,}}={\frac {a}{\,c\,}}\div {\frac {b}{\,c\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}}$

وفقًا للتشابه الهندسي، إذا كان لمثلثين زوايا متساوية، فإن نسبة أضلاعهما متساوية. ونتيجة لذلك، تعتمد الدوال المثلثية التي تمثل النسبة بين طولي ضلعين على مقدار الزاوية فقط، يعني أن الدوال لا تتغير قيمتها مع التغير في طول الأضلاع.

بالنسبة للزاوية B، يمكننا أيضًا حساب الدوال المثلثية. الضلع المجاور للزاوية B (الضلع a) هو الضلع المقابل للزاوية A والضلع المقابل B (الضلع b) هو أيضًا الضلع المجاور لـ A، لذلك يمكن القول أن جيب الزاوية B هي جيب التمام الزاوية A والعكس صحيح. علاقة الجيب وجيب التمام بالزوايا المتتامة رياضيا هي كما يلي:^[65]

كلما ازدادت قيمة الزاوية A من صفر إلى 90 درجة، تناقص طول الضلع المجاور تدريجياً ويزداد طول الضلع المقابل. عندما تقترب هذه القيمة من 90 درجة، فإن طول الضلع المجاور يقترب من الصفر. نتيجة لذلك، يؤول جيب تمام الزاوية A إلى الصفر. من ناحية أخرى، فإن طول الضلع المقابل يكون مطابقا للوتر (وفقًا لمبرهنة فيثاغورس، فإن الوتر دائمًا أكبر من الضلعين الآخرين). ونتيجة لذلك، جيب الزاوية A يساوي واحدا. بشكل عام، تتراوح قيمة الجيب وجيب التمام في المثلث القائم، بين الصفر والواحد. يمكن تتبع تغيرات ظل الزاوية بنفس الطريقة. عند حوالي 90 درجة، يؤول ظل الزاوية A إلى اللانهاية، وعندما تقترب من الصفر، تقترب قيمته من الصفر، وبالتالي فإن قيمة ظل الزاوية هي عدد موجب (من الصفر إلى اللانهاية).

يمكن تعريف الدوال المثلثية الثلاث الأخرى بأنها مقاليب الدوال الثلاث المذكورة أعلاه:^[65]

• ظل تمام الزاوية: هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل، أي: ${\displaystyle \cot A={\frac {b}{\,a\,}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {1}{\tan A}}}$
• قاطع الزاوية: هو نسبة وتر المثلث إلى الضلع المجاور، أي: ${\displaystyle \sec A={\frac {c}{\,b\,}}={\frac {1}{\cos A}}}$
• قاطع تمام الزاوية: هو نسبة وتر المثلث إلى الضلع المقابل، أي: ${\displaystyle \csc A={\frac {c}{\,a\,}}={\frac {1}{\sin A}}}$

نطبق العلاقة بين الزوايا المتتامة، كما هو مذكور أعلاه في حالة الجيب وجيب التمام، أيضًا على الدوال المثلثية الأخرى:^[65]

ملخص العلاقات

تُلخص العلاقة بين الدوال المثلثية وأضلاع المثلث القائم بالعلاقات التالية:

sin A = المقابل/الوتر ، cos A = المجاور/الوتر ، tan A = المقابل/المجاور ، cot A = المجاور/المقابل ، sec A = الوتر/المجاور ، csc A = الوتر/المقابل

يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية تسمحُ بتعريفِ الدوالِ المثلثيةِ للزوايا بينَ 0 و${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.^[67][68]

تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ ${\displaystyle \theta }$ ^{[ملاحظة 17]} دائرةَ الوحدةِ في النقطة ${\displaystyle A=(x,y)}$ فإنّ الدالةُ ${\displaystyle \cos \theta }$ تُعرّف على أنها الإحداثي ${\displaystyle x}$ ^{[ملاحظة 18]} والدالة ${\displaystyle \sin \theta }$ هي الإحداثي ${\displaystyle y}$ ^{[ملاحظة 19]} لنقطة التقاطع. وبمعنى آخر فإنَّ: ${\displaystyle (x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )}$ . وبرسم مماسٍ من النقطة ${\displaystyle (x,y)}$ يقطعُ محورَي السينات والصادات^{[ملاحظة 20]} في النقطتين ${\displaystyle E=(a,0),F=(0,b)}$ على الترتيب، فإنَّ ${\displaystyle a=\sec \theta ,b=\csc \theta }$ .

يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في المجال ${\displaystyle (0,{\frac {\pi }{2}})}$ باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة ${\displaystyle OA=r}$ هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ على دائرة الوحدة تُحقّق ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم ${\displaystyle \triangle OCA}$ ، فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات ${\displaystyle x,y}$ يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس: ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$ .^[6][67] وأخيراً فإنَّ المسافات ${\displaystyle AF,AE}$ تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: ${\displaystyle \cot {\theta },\tan {\theta }}$ على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة ${\displaystyle \triangle OAF,\triangle OAE,\triangle OEF}$ للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:^[69]

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

بما أنَّ دوراناً بزاوية ${\displaystyle \pm 2\pi }$ لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط ${\displaystyle F,A,E}$ ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ ${\displaystyle 2\pi }$ . وعلى ذلكَ، الدوال المثلثية هن دوالٌ دورية ذات دور ${\displaystyle 2\pi }$ . بمعنى آخر، المساواةَ ${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)}$ و${\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$ صالحةٌ لأي زاوية ${\displaystyle \theta }$ ولأي عدد صحيح ${\displaystyle k}$ . ينطبق الشيء ذاته على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب وجيب التمام والقاطع وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى أن 2π هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي 2π هي الدور الأساسي لتلك الدوال. إلا أن بعد الدوران بزاوية π، تعود النقطتان B وC إلى موضعهما الأصلي (الصورة (2.أ))، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دور أساسي π.^[1]

يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي كل العلاقات المثلثية:

انعكاس حول المحور الأفقي[70]	دوران بزاوية π/2	دوران بزاوية π	دوران بزاوية 2kπ (مع k عدد صحيح)	انعكاس حول المحور العمودي
${\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=+\cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +2k\pi )=+\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(\pi -\theta )=\sin \theta }$
${\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +2k\pi )=+\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }$
${\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta }$	${\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\theta +\pi )=+\tan \theta }$	${\displaystyle \tan(\theta +2k\pi )=+\tan \theta }$	${\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta }$
${\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta }$	${\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(\theta +\pi )=+\cot \theta }$	${\displaystyle \cot(\theta +2k\pi )=+\cot \theta }$	${\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta }$
${\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +2k\pi )=+\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta }$
${\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=+\sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +2k\pi )=+\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(\pi -\theta )=\csc \theta }$

• 
  رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة
• 
  الدوال المثلثية: الجيب، جيب التمام، الظل، قاطع التمام (متقطع)، القاطع (متقطع)، ظل التمام (متقطع).

بالنسبة لبعض الزوايا، يمكن الحصول على قيم الدوال المثلثية بسهولة، تدعى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة أو الزوايا الشهيرة.

إذا كان مقدار الزاوية يساوي 0°، فإن جيبها يساوي 0 وجيب التمام يساوي 1. وإذا كان مقدار الزاوية يساوي 90°، يصبح جيب التمام يساوي 0 والجيب يساوي 1، بتعبير آخر:

${\displaystyle \sin 0^{\circ }=\cos 90^{\circ }=0}$

${\displaystyle \sin 90^{\circ }=\cos 0^{\circ }=1}$

المثلث القائم ذو زاوية 45° له زاوية حادة أخرى تبلغ 45° أيضا، يطلق على هذا المثلث اسم مثلث قائم ومتساوي الساقين. في هذا المثلث، بناءً على مبرهنة فيثاغورس، طول الوتر يساوي √2 مرة طول كل من الساقين، إذن:

${\displaystyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

${\displaystyle \tan 45^{\circ }=\cot 45^{\circ }=1}$

باستخدام خصائص مثلث متساوي الأضلاع (الشكل المقابل)، يمكن إظهار أن الضلع المقابل للزاوية 30° هو نصف طول الوتر، إذن:

${\displaystyle \sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}}$

وبالمثل، يتم الحصول على طول الضلع الآخر باستخدام مبرهنة فيثاغورس، الذي يساوي √3/2، نتيجة لذلك:

${\displaystyle \sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

إن كتابة البسوط جذورا تربيعية للأعداد الصحيحة غير السالبة المتتالية، مع مقام يساوي 2، توفر طريقة سهلة لتذكر القيم.^[71]

تنص مبرهنة نيفن على أن القيم الكسرية الوحيدة لـθ التي تتواجد في المجال ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ }}$ والتي يكون جيبها عدداً كسريًا هي الزوايا ذات القيم 0 و30 و90 درجة.^[72] تمتد المبرهنة أيضًا إلى الدوال المثلثية الأخرى وإلى بعض الزوايا.^[73] بالنسبة للقيم الكسرية لـ θ، فإن القيم الكسرية الوحيدة للجيب أو جيب التمام هي 0 و ±1/2 و ±1؛ والقيم الكسرية الوحيدة للقاطع أو قاطع التمام هي ±1 و ±2؛ والقيم الكسرية الوحيدة للظل أو ظل التمام هي 0 و ±1.^[74]

مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات كسرية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، وهي من مضاعفات العدد 3، قد يتم التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، طالع قيم جبرية دقيقة لثوابت مثلثية.^[75] وبالتالي قد يتم إنشاء هذه القيم للجيب وجيب التمام بواسطة المسطرة والفرجار.

بالنسبة لزاوية عدد صحيح بالدرجات، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد عقدي^{[ملاحظة 21]} غير حقيقي.^[76] تسمح نظرية غالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعف 3°، فإن الجذور التكعيبية غير الحقيقية لا يمكن تجنبها.^[77][78]

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد كسري، الجيب وجيب التمام هما عددان جبريان، يمكن التعبير عنهما بدلالة الجذور النونية.^[76]

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد غير كسري، إما أن تكون الزاوية أو الجيب وجيب التمام عددين متساميين. إنها لازمة مبرهنة باكر، ثُبتت في عام 1966.^[79]

يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية.^[80] يمثل الرمز ∞ النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي؛ إنها غير مؤشَّرة، لأنها عندما يظهر في الجدول، تؤول الدالة المثلثية المقابلة إلى +∞ في جهة، وإلى -∞ في جهة أخرى، عندما يؤول المتغير إلى القيمة في الجدول.

راديان	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
درجة	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle 22.5^{\circ }}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle 67.5^{\circ }}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$
جا ${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 1}$
جتا ${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 0}$
ظا ${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \infty }$
ظتا ${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 0}$
قا ${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \infty }$
قتا ${\displaystyle \csc }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1}$

الدوال المثلثية هي دوال قابلة للتفاضل. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء هندسة رياضية من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

لتعريف الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك عدة امكانيات، منها التعريف باستخدام متسلسلة القوى أو المعادلات التفاضلية. هذه التعريفات الأخيرة متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه على سبيل المثال، قد يبدو اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، ومتطابقة فيثاغورس هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية.

المشتقات الأولى والثانية للدوال المثلثية مع مشتقاتها العكسية هي كما يلي:

دالة	مشتقها الأول[59]	مشتقها الثاني	مشتقها من الرتبة n[81]	تكامل[58]
${\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle -\sin(x)}$	${\displaystyle \sin(x+{\frac {n\pi }{2}})}$	${\displaystyle -\cos(x)}$
${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle -\sin(x)}$	${\displaystyle -\cos(x)}$	${\displaystyle \cos(x+{\frac {n\pi }{2}})}$	${\displaystyle \sin(x)}$
${\displaystyle \tan(x)}$	${\displaystyle \sec ^{2}(x)}$	${\displaystyle 2\sec ^{2}(x).\tan(x)}$	معقد[82]	${\displaystyle -\ln |\cos(x)|}$
${\displaystyle \cot(x)}$	${\displaystyle -\csc ^{2}(x)}$	${\displaystyle 2\csc ^{2}(x).\cot(x)}$	معقد[82]	${\displaystyle \ln |\sin(x)|}$
${\displaystyle \sec(x)}$	${\displaystyle \sec(x).\tan(x)}$	${\displaystyle \sec(x)(\sec ^{2}(x)+\tan ^{2}(x))}$	معقد[82]	${\displaystyle \ln |\sec(x)+\tan(x)|}$
${\displaystyle \csc(x)}$	${\displaystyle -\csc(x).\cot(x)}$	${\displaystyle \csc(x)(\csc ^{2}(x)+\cot ^{2}(x))}$	معقد[82]	${\displaystyle -\ln |\csc(x)+\cot(x)|}$

يمكن الحصول على تعريف آخر استنادا إلى الطول الدقيق لقوس الدائرة. باعتبار معادلة النصف العلوي لدائرة الوحدة ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$ ، يمكننا إيجاد العلاقة بين الزاوية ${\displaystyle \theta }$ و${\displaystyle \sin \theta }$ وفقًا للمعادلة التالية:^[83][84]

${\displaystyle \int _{0}^{\sin \theta }{\sqrt {1+\left({d \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2}}}dx=\int _{0}^{\sin \theta }{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\theta }$

حيث تنتمي الزاوية θ إلى المجال ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ .

• الجيب وجيب التمام هما من الدوال الفريدة من نوعها التي تقبل التفاضل، بحيث:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin x&=\cos x,\\{\frac {d}{dx}}\cos x&=-\sin x,\\\sin 0&=0,\\\cos 0&=1.\end{aligned}}}$

كل من دالتي الجيب والجيب التمام تحققان المعادلة التفاضلية التالية: ${\displaystyle y''=-y}$ (معادلتها المميزة هي ${\displaystyle m^{2}+1=0}$ ، جذرها هي وحدة تخيلية موجبة أو سالبة ±i) بتعبير آخر، كل منهما تساوي مقابل مشتقتها من الدرجة الثانية.

الجيب هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:^[85]

${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=0\\[2pt]y\,'(0)=1\end{cases}}}$

جيب التمام هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:^[85]

${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=1\\[2pt]y\,'(0)=0\end{cases}}}$

بتطبيق قاعدة ناتج القسمة على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=1+\tan ^{2}x.}$

إذن، دالة الظل هي حل للمعادلة التفاضلية التالية:

${\displaystyle y'=1+y^{2}}$

• نعتبر المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية: ${\displaystyle ay''+by'+cy=0}$

إن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية من الشكل ${\displaystyle y=A_{1}e^{m_{1}x}+A_{2}e^{m_{2}x}}$ ، حيث ${\displaystyle m_{1}}$ و ${\displaystyle m_{2}}$ هما جذور المعادلة المميزة للمعادلة (${\displaystyle am^{2}+bm+c=0}$ ). أيضا ${\displaystyle A_{1}}$ و ${\displaystyle A_{2}}$ هي ثوابت كيفية بناءً على الشروط الأولية.

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور عقدية، فإن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية العقدية:

${\displaystyle y=A_{1}.e^{(\alpha +i\beta )x}+A_{2}.e^{(\alpha -i\beta )x}}$

حيث ${\displaystyle \alpha }$ هو الجزء الحقيقي و ${\displaystyle \beta }$ هو الجزء التخيلي لجذر المعادلة المميزة. استنادًا إلى صيغة أويلر، يمكننا تحويل الدالة الأسية العقدية إلى دالتي الجيب وجيب التمام، لذلك في حالة الجذور العقدية، ستتضمن حل المعادلة التفاضلية دوال مثلثية:^[86]

${\displaystyle y=A_{1}.e^{\alpha x}\cos \beta x+A_{2}.e^{\alpha x}\sin \beta x}$

دوال مثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسلات لانهائية.

باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن كتابة كل دالة مستمرة على شكل متسلسلة قوة بجوار النقطة a على النحو التالي:^[87]

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots }$

حيث تشير n! إلى عاملي عدد.

عندما يكون a=0، تتحول هذه المتسلسلة إلى متسلسلة ماكلورين، رياضيا:^[88]

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots }$

ملاحظة: الزاوية x مقاسة بالتقدير الدائري في جميع السلاسل التالية.

• جيب الزاوية:^[89]

يوضح الشكل المقابل الرسم البياني لدالة الجيب إلى جانب متعدد الحدود السابع لماكلورين. قيمة دالة الجيب عند الصفر تساوي صفر، لذا فإن الحدود الزوجية لمتسلسلة القوة للجيب هي صفر. ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة القوة للجيب ستحتوي فقط على حدود فردية.

• جيب تمام الزاوية

وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية.

نصف قطر التقارب ^{[ملاحظة 22]} لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى دوال صحيحة، والتي هي (بالتعريف) دوال ذات قيم عقدية وهولومورفية على مجمل المستوي العقدي.^[90]

الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع غير المعرفة عند π/2 (أو °90)، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين -π/2 و π/2، لذا، يمكن تمثيل هاتين الدالتين بواسطة متسلسلة ماكلورين. أيضًا بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام غير المعرفة عند الصفر، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين 0 و π وبين -π و 0، لذلك، يمكن تمثيلهن بواسطة متسلسلة لوران، هذه الأخيرة، هي تمثيل دالة على شكل متسلسلة القوى ذات درجات سالبة (متسلسلة ذات بعض الحدود المرفوعة لِأُس سالب).^[91]

بتعبير أدق، نعرف:

U_n، هو عدد Up/down من الرتبة n.

B_n، هو عدد بيرنولي من الرتبة n.

و E_n، هو عدد أويلر من الرتبة n.

تُعرف الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الصحيحة. ولذلك، يمكن أن تُمدّد إلى دوال ميرومورفية، والتي هي دوال هولومورفية في كامل المستوي العقدي، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأقطاب. هنا، الأقطاب هي أعداد من الشكل ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$ بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو ${\displaystyle k\pi }$ بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، حيث k هو عدد صحيح كيفي.^[92]

يمكن أيضًا حساب علاقات الاستدعاء الذاتي لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير توافقي: فهي تُعدّد التبديلات المتناوبة للمجموعات المنتهية.^[93]

عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يتم استخدام عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من الرتبة n لمتسلسلة بواسطة:^[58]

${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1},a<c<x}$

مع زيادة قيمة x، ستكون هناك حاجة إلى المزيد من الحدود لتحقيق دقة معينة، ونتيجة لذلك، ستنخفض سرعة التقارب. بالإضافة إلى ذلك، فإن الدوال الأربعة الأخيرة لها نقاط عدم الاستمرار (نقاط عدم الإتصال)، ومتسلسلات القوى لهذه الدوال معرفة على مجال معين.

لمنع التقارب من التباطؤ والتخلص من مشكلة نقاط عدم الاستمرار، يجب علينا تقليص الزاوية قدر الإمكان قبل استخدام المتسلسلة. باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة، يمكن تقليص الزاوية إلى ${\displaystyle (0,{\tfrac {\pi }{4}})}$ ، وباستخدام بعض المتطابقات المثلثية إلى ${\displaystyle (0,{\tfrac {\pi }{2}})}$ . بهذه الطريقة، تزداد سرعة تقارب المتسلسلة والكفاءة الحسابية.^[94]

هناك تمثيل متسلسلات مفكوكًا كسريًّا جزئيًّا، حيث يتم جمع دوال المقلوب المزاحة فقط، بحيث تتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:^[95]

يمكن إثبات هذه المتطابقة بواسطة حيلة هيرغلوتس ^{[الإنجليزية]}.^[96]

وبنفس الطريقة، يمكننا إيجاد المفكوكات الكسرية الجزئية لكل من القاطع وقاطع التمام والظل:^[97]

كسر مستمر معمم هو تعميم للكسور المستمرة الاعتيادية حيث تأخذ مقاماته وبسوطه قِيَمًا حقيقية أو عقدية ما.

يمكننا كتابة الدوال الرياضية على هذا النحو:^[98]

فيما يلي الكسور المستمرة لبعض الدوال:

الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل العقدي:^[99]

${\displaystyle \sin z=z\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

من هذه المتسلسلة، نستنتج أن:^[99]

${\displaystyle \cos z=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

يمكننا أيضا تعريف الدوال المثلثية باستخدام المعادلات الدالية المختلفة.^{[ملاحظة 23]}

مثلا،^[100] الجيب وجيب التمام هما دالتان فريدتان من الدوال المستمرة التي تحقق صيغة الفرق:

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$

بشرط أن تكون ${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x}$ من أجل ${\displaystyle 0<x<1}$ .

يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام لعدد عقدي بدلالة الدوال نفسها والدوال الزائدية:^[101]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$